Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 13.7
Трехмерная пространственно-временная диаграмма. Конус образован мировыми линиями выходящих из начала координат световых сигналов, к двум из которых относятся векторы а и а\
Что следует понимать под углом между ними? Если посмотреть вдоль транспортира в направлении двух источников света, то в принципе можно точно измерить интересующий нас угол, хотя, конечно, это довольно грубый метод. Иллюстрирующая такой метод пространственная диаграмма и соответствующая трехмерная пространственно-временная диаграмма показаны на рис. 13.8. Направления распространения световых сигналов
Измерение углов между изотропными векторами а и а' с помощью проецирования этих 4-векторов на плоскость х — у. Отдельно показано сечение плоскостью проекции.
Л. 112
Гл. I. Специальная теория относительности
определяются пространственными составляющими касательных векторов. Составляющая вектора а, лежащая вдоль 4-ско-рости наблюдателя, имеет вид — (а • Х)Х. Чтобы найти пространственную составляющую, нужно из вектора а вычесть его составляющую, лежащую вдоль оси времени. Если обозначить пространственную составляющую символом a t, то
CTl = (Т+ (а ¦ Х)Х. (13.24)
[Обратите внимание на знак ми- Этот вектор удовлетворяет условию нус. Он возникает из-за нормировки XX=-I.] сгх • X = 0. (13.25)
Угол 0, который, по мнению наблюдателя, образуют между собой направления распространения двух световых сигналов, должен быть равен углу между векторами а ± и а'± . Но для векторов, у которых нет пространственных составляющих, спецрелятивистское скалярное произведение совпадает с евклидовым, так что можно воспользоваться формулой евклидовой геометрии (3.4):
COSfl= , в+'"1, . (13.26)
V(oi-oi)(oi -O-/)
После упрощений мы приходим к искомому ковариантному выражению
(COS 9 - » = (CT-I) W -X) ' <13-27)
с различными применениями которого вы познакомитесь в процессе решения задач.
ЗАДАЧИ
13.1. (20) Наблюдаемая яркость источника света зависит как от количества фотонов, поступающих в единицу времени, так и от энергии каждого фотона. Энергия фотона пропорциональна его частоте. Как яркость движущегося источника связана с его яркостью в состоянии покоя?
13.2 (21) С помощью графического метода, использованного в примере на стр. 107, нанесите на диаграмме против каждого значения скорости соответствующее значение доплеровского смешения для случая, когда источник и приемник движутся вдоль соединяющей их прямой. 13. Доплеровское смещение
113
13.3. (19) Выведите с помощью графического метода формулу доплеровского смещения в пределе малых относительных скоростей источника и приемника, движущихся вдоль одной прямой.
13.4.(10) Докажите, что в пределе малых относительных скоростей источника и приемника, движущихся вдоль одной прямой, часы, измеряющие абсолютное время, обнаружат одно и то же доплеровское смещение.
13.5. (14) Докажите, что в случае, когда источник и приемник движутся с постоянной относительной скоростью вдоль одной прямой, рассуждения на стр. 106 не нуждаются в предположении о малости т.
13.6.(14) Некоторый наблюдатель, движущийся со скоростью v по направлению
х + у + ?,
измеряет угол между направлениями движения двух фотонов, летящих к нему вдоль базисных векторов X и ?. Каков результат его измерений?
13.7.(24) Найдите величину угла 0', измеренного движущимся наблюдателем между направлениями на звезду, лежащую на линии его движения, и на звезду, которую неподвижный наблюдатель видит под углом в к этой линии (рис. 13.9). С помощью этого расчета покажите, что закон преобразования координат на небесной сфере
(в, ф) H+ (в',ф'),
принадлежащих двум различным системам отсчета, имеет вид , в' Il-V t в
tgT=Vrn; 2' ф=Ф',
13.8.(25) Какова связь между формулой (13.26) и диэдрическим произведением, определенным в задаче 12.8?
13.9.(33) Докажите, что отображение
(в, ф) H+
определенное в задаче 13.7, конформно. Иными словами, покажите, что оно сохраняет углы и переводит бесконечно малые окружности в другие бесконечно малые окружности.
13.10. (35) Докажите, что в результате того же самого отобра-
ж
Рис. 13.9
Это не пространственно-временная диаграмма, а диаграмма в обычном пространстве.
8-649 114
Гл. I. Специальная теория относительности
жения конечные окружности переходят снова в конечные окружности.
13.11.(25) Получите то же самое отображение с помощью преобразований Лоренца.
13.12.(39) Допустим, что вам надоела наша Галактика и вы решили ее покинуть, двигаясь перпендикулярно ее плоскости с ускорением lg. Опишите, как со временем будет меняться вид на удаляющуюся Галактику. (См. [16].)
14. 4-импульс
В том виде, как мы ее до сих пор излагали, специальная теория Далеко идущее обобщение относительности — это теория, предназначенная для описания
часов, световых сигналов и свободных частиц. Было показано, что выбранный нами способ описания всех этих объектов обладает лоренцевой симметрией, в силу которой все состояния движения равноправны. Не существует выделенного состояния, которое можно было бы считать абсолютным покоем. Теперь можно рискнуть сделать следующее далеко идущее обобщение: возможно, вся физика обладает такой симметрией. Это смелый шаг, и нужно отдать дань восхищения проницательности и решительности Эйнштейна, который сделал его, имея на то гораздо меньше оснований, чем мы имеем теперь. На сегодняшний день нет ни одного факта, противоречащего этому всеобъемлещему обобщению, поэтому его можно положить в основание любой физической теории. Это обобщение претерпевает небольшие изменения в общей теории относительности, где лоренцева симметрия имеет лишь локальный характер. Для больших промежутков времени и расстояний постулаты СТО следует модифицировать. Но СТО по-прежнему должна давать правильное локальное описание — это утверждение часто называют принципом эквивалентности.
