Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
X1 =
1
Vl-(^1)2
(12.18)
[Упражнением в рассуждениях подобного сорта в рамках евклидовой геометрии может служить задача 12.8.]
Закон сложения скоростей
X,=
Vi - (U2)2
(V2X+1).
(12.19)
Относительная скорость у, с которой вторая частица движется по отношению к первой, удовлетворяет соотношению (12.17):
1
VTrV2
или
X1-X2
V1V2 — 1
VT=V2 Vi-(V1)2 Vi - (V2)2'
(12.20)
(12.21)
откуда после элементарных алгебраических преобразований (включающих правильный выбор знака квадратного корня) получим
V =
V2 -
1 — V1V2
(12.22)
что .совпадает с формулой, приведенной в разд. 9.
Представление о касательном векторе можно распространить и на искривленные мировые линии. Для этого воспользуемся предельным переходом к столь коротким отрезкам мировой линии, что их можно считать прямыми, для которых легко
Касательные к искривленным мировым линиям 102
Гл. I. Специальная теория относительности
Рис. 12.1
Процесс предельного перехода при построении касательного вектора в точке u = O.
[Здесь опушено довольно много промежуточных шагов, но все они просты и не очень поучительны, так что вы можете спокойно принять этот результат на веру. Более полный вывод дан в разд. 26.]
построить касательные векторы. Проще всего работать с кривой, заданной в параметрической форме; другими словами, кривую можно задать в виде четырех функций, являющихся координатами событий, которые лежат на этой кривой:
х = Х(и), Z = Z(U), у = Y(u), t = Т(и).
(12.23)
На языке отображений (см. разд. 1, стр. 36) параметризованная кривая определяется таким отображением Р, что
Р: IR-> V; и >-> Р(и). Тогда касательный вектор v определяется формулой
(12.24)
(12.25)
Каждое значение P(и) представляет собой событие, а различие в положениях событий в пространстве-времени описывается вектором смещения, так что в правой части формулы (12.25) на самом деле стоит вектор. Процесс предельного перехода схематически изображен на рис. 12.1. Касательный 4-вектор v можно разложить по базисным векторам
v dux duy duz du
(12.26)
Следует иметь в виду, что одну и ту же кривую можно параметризовать различными способами. При изменении параметризации изменяется и длина касательного вектора. Однако если
W = —1,
(12.27)
Собственное время
то касательный вектор представляет собой 4-скорость. Параметр кривой, для которого выполняется указанное условие, на-зывается собственным временем, ибо промежутки времени в этом случае численно равны изменению параметра.
ЗАДАЧИ
12.1. (14) Убедитесь, что спецрелятивистское скалярное произведение ковариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. 12. 4-векторы 103
12.2. (20) Проверьте справедливость закона преобразования компонент 4-вектора при преобразованиях Лоренца, вычислив касательный вектор мировой линии до и после выполнения преобразований.
12.3. (22) Покажите, как в пространстве-времени разложить 2-векторы по изотропному базису, соответствующему светопо-добным координатам (T1, т2).
12.4. (34) По аналогии с тем, как это делалось для 4-скорости, дайте определение 4-ускорения, чтобы оно описывало изменение 4-скорости по отношению к собственному времени. Найдите 4-ускорения частиц (при и = 0) с мировыми линиями
и t-» (cos Пи, 0, 0, и), и (0, sin Slu, 0, и), и (cos du, sin flu, 0, и).
[Внимание! Параметр и — не обязательно собственное время.]
12.5. (18) Докажите, что скалярное произведение 4-ускорения и 4-скорости, ассоциированных с данной мировой линией, тождественно равно нулю.
12.6. (30) Какова мировая линия частицы, движущейся вдоль прямой с постоянным по величине 4-ускорением? Как сильно «состарится» мир к моменту вашей кончины, если вы всю жизнь будете двигаться с постоянным ускорением, равным lg? (Для упрощения вычислений используйте гиперболические синус и косинус.)
12.7. (16) Докажите, что ракета, движущаяся все время с постоянным ускорением относительно мгновенно сопутствующей ей инерциальной системы отсчета, способна неограниченно долго опережать световой сигнал. Насколько раньше светового сигнала она должна стартовать, чтобы это стало возможным?
12.8. (31) Определим диэдрическое произведение трех векторов в евклидовой геометрии следующим образом:
0(а Ь с)ш_{b-b){a-c)-(b-a)(b-c)_
y/V«, а, с) b) (а а) _ (b fl)2]1/2[(A . b) (с . с) _ (ь . с)2]т.
Докажите, что оно обладает следующими свойствами: 1) инвариантно по отношению к изменениям длин векторов а, b и с; 104
Гл. I. Специальная теория относительности
2) инвариантно по отношению к изменениям вектора а, оставляющим а в плоскости, содержащей векторы я и ft, т. е.
Q(a + kb, Ь, с) =Q(а, Ь, с).
Таким образом, диэдрическое произведение зависит только от двух пересекающихся плоскостей, которые определяются этими векторами. Единственная геометрическая величина, связанная с двумя такими плоскостями, — это образуемый ими двугранный угол в. Докажите с помощью расчетов в частной системе координат, что имеет место равенство
cos e = Q(a, b, с).
