Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 16.1
Описанное в тексте семейство параметризованных кривых. Стрелки стоят в точках, соответствующих цельв^ значениям параметра и, черточки — в точках, соответствующих полуцелому значению этого параметра.
9-649 130
Гл. II. Геометрия
Рис. 16.1 после двукратного увеличения (? = 1/2). Число кривых увеличено в два раза; отмечены точки, соответствующие значениям параметра и, равным 1/2 и 1/4.
Рис. 16.1 после пятикратного увеличения (? = 1/5). Отмечены точки, для которых значение и равно 0,2 и 0,1.
[Когда мы говорим, что прямая является локальной линейной аппроксимацией некоторой кривой в точке Р, то имеем в виду, что расхождение между кривой и аппроксимирующей прямой возрастает как квадрат расстояния от точки Р. ]
В результате такой замены переменных область, имевшая размер є в старых координатах, теперь имеет размер порядка единицы. Так как мы рассматриваем только малую окрестность точки Р, изменим масштаб параметра и и введем новый параметр
?/ = -. (16.3)
E
Чтобы выделить кривые уа, проходящие вблизи точки (1, 0), введем еще один новый параметр
А = (16.4)
є
Заметим, что через точку (1, 0) проходит только окружность 7]. В новых координатах наши кривые задаются отображениями ГА:
VA: U^ (XJ)-
H-
„ (1 + Ы) Г eU X =-- cos
е L П + еЛ)1.
v (1 +єА) ¦ eU ¦ у = —7—S,n(l +сАГ (16-5)
Эти кривые для е= 1A и є = '/з приведены на рис. 16.2 и 16.3. Поскольку рассматриваемое семейство состоит из гладких кривых, при достаточно малых є их вид в (Л"У)-плоскости практически не будет меняться с уменьшением е. Используя разложение в ряд Тейлора, можно перейти к пределу е — 0. Тогда получим
X = A,
Y=U. (16.6)
Формулы (16.6) описывают изображенное на рис. 16.4 семейство прямых, параллельных оси у.
После того как мы нашли линейную аппроксимацию рассматриваемого семейства кривых, можно вернуться к исходным переменным. Имеем
X= а,
У = и. (16.7)
Формулы (16.7) описывают семейство прямых линий, аппроксимирующих заданное семейство окружностей в окрестности точки P = (1, 0). 16. Касательные векторы и 1-формы
131
Соответствующее поле свободных векторов изображено на рис. 16.5.
Рие. 16.4
Предел, к которому приводит описанная выше процедура при ? — 0.
Рис. 16.5
Поле свободных векторов, соответствующее семейству параллельных прямых, которое изображено на рис. 16.4. Обратите внимание, что свободный вектор можно провести из любой точки, точно так же, как прямую на рис. 16.4 можно провести через любую точку.
Существует другое понятие, не менее важное, чем понятие кривой. Мы имеем в виду функцию. Функция ставит в соот- Функции ветствие каждому событию пространства-времени некоторое число. Таким образом, она представляет собой отображение пространства-времени в IR. Параметризованная кривая является дуальным понятием по отношению к функции: это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке из R некоторое событие в пространстве-времени. Как мы знаем, поведение гладкой кривой в окрестности некоторой точки определяется касательным вектором. Точно так же поведение гладкой функции определяется ее градиентом. Чтобы найти локальную ли- Градиент нейную аппроксимацию функции в окрестности некоторой точ-
9* 132
Гл. II. Геометрия
1-формы
ки, можно воспользоваться описанной выше процедурой предельного перехода. Представим нашу функцию в виде набора линий уровня, затем растянем окрестность рассматриваемой точки в 1/е раз и дорисуем новые линии уровня таким образом, чтобы переход с одной линии на соседнюю соответствовал изменению значения функции не на единицу, как до растяжения, а на величину е. Если функция является гладкой, то этот процесс приводит к хорошо определенному пределу. Таким пределом будет семейство параллельных и эквидистантных линий. В градиенте нетрудно узнать нашего старого знакомого — свободный ковектор.
Градиент является представителем класса операторов, которые называются дифференциальными формами. Как первый член этого класса его называют также 1-формой. Термин «градиент» часто используется для обозначения вектора, поэтому во избежание недоразумений мы будем называть градиент 1-формой. Другие члены этого ряда, 2-формы и т. д., нам не потребуются.
Рис. 16.6
Линии уровня функции X2 + У2 --1. Точка P имеет координаты (0,1).
Пример
Пусть на IR2 задана функция
f(x,y) = х2+у2-1;
(16.8)
найдем ее линейную аппроксимацию в окрестности точки P = (0,1). Введем растянутые координаты
X =
(16.9)
и рассмотрим новую функцию (точнее, исходную функцию в новых переменных)
F(X,Y) =(1 + eY)2 + E2X2 - 1. (16.10)
Линии уровня этой функции определяются из соотношения
{\ + ?Y)2 + (?X2-\ = en, (16.Ц)
где п = 0, 1, 2.....Для E= 1 и ? = '/4 линии уровня изображены соответственно на рис. 16.6 и 16.7. В пределе е — 0 получим
IY= п.
(16.12) 16. Касательные векторы и 1-формы
133
Рис. 16.7
Рис. 16.6 после увеличения в четыре раза.
Рис. 16.8
Предел при бесконечном увеличении степени растяжения.
