Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(11.9а)
Вдоль произвольного пути Д удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка. Поэтому Л не может обращаться в нуль в какой-либо точке этого пути, если оно неравно нулю тождественно.
Отсюда заключаем, что, если л векторов Ь{ линейно независимы, они сохраняют это свойство и при параллельном переносе.
Предположим теперь, что аффинная связность симметрична в своих индексах и интегрируема, тогда каждый из
s
векторов bt образует поле параллельных векторов. Каждое из этих полей удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида
bit, = TiJr (11.12)
Правая часть симметрична в индексах ink. Поэтому
s
ротор bi равен нулю:
Kk-Ki=0' (!'.із)
s
Из этого уравнения видно, что каждое из п полей Ьі яв-
ляется градиентным полем, т. е. существует п скаляров Ь, так что
Ii = Ir (11.14)
Эти л скаляров b можно рассматривать, как п координат новой системы. Согласно уравнению (11.8) якобиан преобразования координат не равен нулю. Теперь можно показать, что в новой системе координат Г}л исчезают Преобразуем коэфициенты аффинной связности согласно уравнению (5.81):
Jfl . .
1{*-Wl \~W 1 Ob — д&) ' ' '
В соответствии с уравнениями (11.14) производные
являются компонентами векторов Ье, так что выражение в скобках в (11.15) равно
d«*'^ дЧ*' _ / ^ і
~Wlab~d&W—ъс1<*—batb. (П.16)
В силу (11.12) это выражение равно нулю, благодаря этому Гв (11.15) также обращаются в нуль.
Возвратимся к рассмотрению метрического тензора. Уравнение (11.3) можно решить относительно производных gma. Сложим два уравнения:
7 і+Sn, k — gM, t) = { I ,} g,t
и
1 I J I
"2 (йк, 1+Ski, і— Sit, ?)=1/ і/ Ssk- (11-17)
Получим:
Таким образом, e с л и j ^ | равны нулю, gik постоянны.
Приведение постоянных g(k к форме (11.7) есть чисто алгебраическая задача. Она решается при помощи стандартных процессов ортогонализации и нормировки и не представляет для нас интереса. Любое пространство, в котором компоненты метрического тензора постоянны, является тем самым плоским.
Критерий интегрируемости. Если аффинная связность пространства симметрична и интегрируема, уравнения параллельного переноса (11.2) могут рассматриваться не только как обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль заданного пути, но и как уравнения в частных производных для векторного поля в целом. Их можно записать в виде
Ontl=-Tfc'. (11.19)
Аналогичные уравнения имеют место для ковариантных векторных полей. Эти уравнения переопределены, так как для определения л составляющих вектора имеется л* уравнений. Для того чтобы существовали решения, должен удовлетворяться ряд дифференциальных тождеств. Вид этих тождеств хорошо известен. Дифференцируя уравнения (11.19) по S4, получим:
» = -?,-T"siaS, * = (-—Г«,* + Г",Г?*)а'. (11.20)
Вычитая отсюда такое же выражение с переставленными индексами і и k, найдем условия, которые должны удовлетворяться в силу того, что порядок дифференцирования не играет роли:
О = - (Гй, * - Г?*,, - № + Г?*Ц.) а'. (11.21)
Так как значения а1 в одной точке можно выбрать произвольно, окончательные условия интегрируемости имеют вид:
Riktn = rg. * - Г?*,, - М* + СП; = 0. (11.22)
Эти условия не только необходимы, но и достаточны. Доказательство этого проводится таким же путем, как и доказательство теоремы о том, что козариантное векторное поле является градиентным полем тогда и только тогда, когда ротор обращается в нуль (см. задачу 14, главы V).
Перестановочные соотношения для ковариантного дифференцирования, тензорный характер Rtk", Обращение в нуль выражения Rikl" в уравнении (11.22) эквивалентно интегрируемости аффинной связности и поэтому должно быть инвариантным свойством. Однако существуют пространства, не являющиеся плоскими и в которых Rikl" отлично от нуля (например, поверхность сферы). Выясним, по каким законам преобразуются величины RilJ1 .
Чтобы ответить на этот вопрос, найдем тензорные уравнения, в которых фигурируют RttJl- Таковыми являются перестановочные соотношения для ковариантного дифференцирования. Вычислим величину
Alt _ An
Л ;ik Л ;кГ
Согласно определению ковариантного дифференцирования имеем
Ап;. = Ап(-\-Тп.А1. (11.23)
Вторичное ковариантное дифференцирование приводит к выражению
Л"; I*=M-. ,U+г, - іу., =
= + П. И' + У* + !У', + (11.24)
Предположим, что коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах. После вычитания из (11.24) уравнения с переставленными і и k подчеркнутые члены уничтожаются в силу их симметрии относительно і и k. В результате получаем соотношение
An:lk — AnlkI = RlkZA1. (11.25)
Это уравнение является перестановочным соотношением для ковариантного дифференцирования. В плоском пространстве ковариантное дифференцирование коммутативно, подобно обычному дифференцированию. Это можно было предвидеть, так как в плоском пространстве существуют системы координат, в которых ковариантное и обыкновенное дифференцирования эквивалентны. Если пространство не является плоским, коммутатор зависит только от непроднфференцированного вектора.
