Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
-І- л (л—1) различными способами. Из оставшихся (л — 2)
і) Скобками < > выделены члены, тождественно равные нулю в силу того, что у них одинаковы индексы одной пары [см. (11.28> и (11.40)]. •чисел вторую пару индексов можно выбрать — 2)(я — 3)
различными способами. Согласно (11.41), последовательность обеих пар безразлична, поэтому результат нужно еще разделить на 2. Таким образом, имеем
1.1Й(л-1).-1(Л-2)(Й-3)
способов выбора двух Совершенно различных пар индексов.
Однако в этом случае число алгебраически независимых компонент уменьшается еще и за счет существования тождеств (11.29). Например, каждая из трех компонент Rmv Riau и ^3124 имеет различную комбинацию пар индексов, но любая из них может быть выражена через две других. Число алгебраически независимых компонент Riklm с четырьмя различными индексами поэтому равно
yvIn=-I 44«(л-1)4(«-2)(»-З)= = 1л(л-1)(л-2)(л-3). (11.52)
Полное число алгебраически независимых компонент Riktm получается суммированием N1, Nvl и Nm, что приводит к (11.48). Глава XH
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *
Уравнение движения в гравитационном поле. В этой главе мы выведем уравнения гравитационного поля и уравнения движения масс в этом поле.
К сожалению, мы не можем пока рассматривать уравнения движения со всей полнотой, мы должны сейчас ограничиться рассмотрением движения малых частиц, наличие которых лишь незначительно сказывается на общем поле.
Принцип эквивалентности определяет законы движения таких частиц. Их движение в гравитационном поле не должно ничем отличаться от движения по инерции, т. е. их траекториями должны быть геодезические мировые линии:
Этот закон движения более сложен, чем, например, закон движения электрических зарядов в специальной теории относительности. В то время как уравнение (7.49) линейно относительно напряженностей поля, уравнение (12.1) не является линейным по отношению К g^ И их производным. Эта нелинейность характерна для уравнений, ковариантных относительно общих преобразований координат; она является поэтому следствием принципа эквивалентности.
Представление материи в уравнениях поля. Прежде чем приступить к нахождению дифференциальных уравнений гравитационного поля, остановимся кратко на представлении гравитационной массы в уравнениях и их решениях. Гравитационное поле создается гравитационными массами, так же как электромагнитное поле создается электрическими зарядами. Эти заряды могут рассматриваться в двух совершенно различных аспектах. Когда Максвелл получил свои уравнения поля, еще не был известен атомистический характер электрических зарядов. Максвелл предполагал, что заряд равномерно распределяется по объему заряженного диэлектрика, по поверхности проводника и т. п. Соответственно этому он ввел понятия плотности заряда и плотности тока. Эти четыре плотности представляются нашим мировым вектором /с, который входит в систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
Аналогичным образом можно составить уравнения поля, в которых гравитационная масса представляется мировым тензором Pтензором энергии-импульса. Десять компонент этого тензора P^ должны быть равны десяти дифференциальным выражениям второго порядка, образованным из компонент метрического тензора. Эти десять выражений должны, конечно, преобразовываться как P^, т. е. как компоненты симметричного тензора второго ранга. Только в этом случае уравнения поля будут ковариантны.
После того как физиками была обнаружена атомистическая структура электрического заряда, т. е. выяснено, что носителями заряда обязательно являются отдельные частицы — электроны и ионы (а теперь можно добавить — и мезоны), Лорентц описал электромагнитные свойства материи при помощи новой модели. С его точки зрения в подавляющей части пространства не содержится электрических зарядов. Электрические заряды он рассматривал, как точечные, представляющие собой особые (сингулярные) точки электромагнитного поля. Вне зарядов электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла для свободного от зарядов пространства. В месте нахождения каждого точечного заряда уравнения не удовлетворяются — такая точка является осо0ой точкой поля. Хотя уравнения поля теряют смысл в некоторых точках, все же благодаря тому, что уравнения поля справедливы в окрестностях каждой такой сингулярной области, содержащей особую точку, величина заряда в этой сингулярной области остается неизмененной. Полный заряд внутри замкнутой поверхности, окружающей особую точку, определяется интегралом
Если уравнения поля удовлетворяются на всей поверхности S (т. е. если через поверхность 5 не течет электрический ток), то согласно формуле (7.4), правая часть которой
предполагается равной нулю, можно заменить через
с rot Н. Но по теореме Стокса интеграл по замкнутой поверхности от rot равен нулю; отсюда убеждаемся, что 6 не меняется с течением времени, даже если не делать никаких предположений относительно поля внутри поверхности.
Несмотря на предположение о наличии особых областей, поле вне этих областей остается строго определенным. Благодаря этому Лорентц сумел показать, что старая теория Максвелла, предполагающая непрерывное распределение зарядов и токов, является апроксимацией его собственной теории, в которой заряды рассматриваются, как особые точки поля.
