Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Если же рассматривается испускание фотона с заданным импульсом к, то dv = d3&/(2jt)3 = G)adcodo/(2jt)3. При этом предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) нормирована на «один фотон в объеме V = 1», как это принято везде в этой книге; dv есть число состояний, приходящихся на фазовый объем Vd3k. Таким образом, вероятность испускания фотона с заданным импульсом запишется в виде
dw = 2л; I Vfi |* б СО) ^ , (44,3)
или после интегрирования по da:
dw = ^-2\Vfi\2a4o. (44,4)
Сюда должен быть подставлен матричный элемент Vfl из (43,10).
В следующих параграфах мы воспользуемся этими формулами для вычисления вероятности излучения в различных конкретных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов.
Если в начальном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число Nn данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на
<Nn + \\ti\Nn> = VNZ+\, (44,5)
г) Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдачей: излучатель остается как целое неподвижным.
§ 44]
ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
191
т. е. вероятность перехода умножается на A^ + l. Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и при Nn = 0. Член же Nn обусловливает вынужденное (или индуцированное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испускание таких же фотонов.
Матричный элемент Vif перехода с обратным изменением состояния системы (/ —> i) отличается от элемента Vti заменой
(44,5) на
(Nn-\\cn\Nn>=VK
(и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными) Этот обратный переход представляет собой поглощение фотона системой, переходящей с уровня Е, на уровень ?г-. Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для заданной пары состояний г, /) имеет место соотношение1)
(44,6)
шПОГЛ ;vn
(оно было впервые указано А. Эйнштейном в 1916 г.).
Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть
Ikedaido (44,7)
есть энергия излучения, падающего в 1 с на площадку в 1 см2
и имеющего поляризацию е, частоту —в интервале da и направ-
ление волнового вектора —в элементе телесного угла do. Указанным интервалам отвечают № dkdoj(2nY осцилляторов поля, на каждый из которых приходится по фйтонов заданной поляризации. Поэтому ту же энергию (44,7) мы получим, составив произведение
k2 dk do j. fid3 , ,
c-^r-Mue-na^^Nb'dado.
Отсюда находим искомое соотношение:
Arke = ^/ke. (44,8)
ft со3
Пусть dwbe'1 есть вероятность спонтанного излучения фотона с поляризацией е в телесный угол do; индексами (инд) и (погл) отметим аналогичные вероятности для индуцированного испускания и поглощения. Согласно (44,6) и (44,8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями:
МеОГЛ) = Ыиенд) = dwlT /Ue. (44,9)
Л(о3
*) Ниже в этом параграфе пользуемся обычными единицами.
192
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (/к* не зависит от направлений к и е), то интегрирование (44,9) по do и суммирование по е дают аналогичные соотношения между полными вероятностями радиационных переходов (между заданными состояниями i и f системы)
ш,<погл)_а)(нпд)_ш)(сп)^!?1/> (44,10)
ftG)3
где / = 2-4я/ке — полная спектральная интенсивность падающего излучения.
Если состояния inf излучающей (или поглощающей) системы вырождены, то полная вероятность излучения (или поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения (статистические веса) состояний i и f посредством gt и gf. Для процессов спонтанного и индуцированного испускания начальными являются состояния i, а для поглощения—состояния f. Предполагая в каждом случае все g, или gf начальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вместо (44,10), следующие соотношения:
g.^(погл) = giWmn) = g.w(с„) / (44,11)
7ш3
В литературе часто используются так называемые коэффициенты Эйнштейна, определяемые как
Aif = wicn), Bif = w^j, Bf! = w{a0ri,)j (44,12)
(величина I/с есть пространственная спектральная плотность энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями
gfB/i = giBi/ = giAifj~. (44,13)
§ 45. Дипольное излучение
Применим полученные формулы к испусканию фотона электроном (в общем случае релятивистским), движущимся в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора
/' =
в котором ^-операторы предполагаются разложенными по системе волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (§ 32). Переходу электрона из состояния i в состояние f отвечает матричный элемент <0,-^ | /' 11 ,-0р. Такое изменение чисел
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
193
заполнения осуществляется оператором afah и для тока перехода получаем
= = (45,1)
где 'ф,- и ^ — волновые функции начального и конечного состояний электрона.
Выберем волновую функцию фотона в трехмерно поперечной калибровке (4-вектор поляризации е = (0, е)). Тогда в (43,10) произведение //,•?* =— j/,e*. Подставив Vfi в (44,4), получим следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла do фотона с поляризацией е:
