Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
в виде 4-дивергенции
—ед^ Ос Л
и поэтому выпадает при интегрировании по dix в действии S^^Ltfx.
В квантовой электродинамике 4-векторы / и А заменяются соответствующими вторично квантованными операторами. При этом оператор тока выражается через г|)-операторы согласно / = = г|гуф. Роль обобщенных «координат» q в лагранжиане
S ^взаим d?x= е ^ (]A)d3x
— Л А.
Играют значения г|), г|), Л в каждой точке пространства. Поскольку Плотность лагранжиана оказывается зависящей только от самих
188
ИЗЛУЧЕНИЕ
1ГЛ. V
«координат» q (но не от их производных по х), то переход к плотности гамильтониана по формуле (10, 11) сводится лишь к изменению знака плотности лагранжиана1). Таким образом, оператор электромагнитного взаимодействия (интеграл по пространству от плотности гамильтониана взаимодействия) имеет вид
V = e\ (]A)d3x. (43,3)
Оператор свободного электромагнитного поля представляет собой сумму
А = У,[спАп(х)+йК(х)], (43,4)
П
содержащую операторы рождения и уничтожения фотонов в различных состояниях (нумеруемых индексом п). Каждый из них имеет матричные элементы лишь для увеличения или уменьшения соответствующего числа заполнения Nn на 1 (при неизменных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А имеет
матричные элементы лишь для переходов с изменением числа
фотонов на 1. Другими словами, в первом приближении теории возмущений возникают только процессы однократного излучения или поглощения фотона.
Согласно (2,15) матричные элементы
<Nn-\\cn\ Nn> = <Nn\cZ\Na- 1 > = VJT„. (43,5)
Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта п) отсутствуют,
то <1 |с?|0> = 1. Матричный элемент оператора (43,3) для испускания фотона
V/t(t)=e](j/tA-n)d3x, (43,6)
где Ап(х)— волновая функция излучаемого фотона, a jfi: —матричный элемент оператора [ для перехода излучателя из начального состояния i в конечное /2). 4-вектор ]/i = (P/i> 5/;) называют током перехода.
Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощения фотона:
V/t(t)=e[(lflAn)d?x. (43,7)
Он отличается от (43,6) лишь тем, что вместо А’п(х) стоит Ап(х).
х) Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь
о поправке первого порядка малости, то всякая малая поправка к лагранжиану переходит в гамильтониан лишь с изменением своего знака (см. I, § 40).
2) Обозначения в (43,6) содержат некоторую непоследовательность: индексы у Vft относятся к состояниям всей системы «излучатель + поле», а у ifl-
it состояниям одного излучателя.
S 43] ОПЕРАТОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 189
Указанием аргумента t у Vfi мы подчеркиваем, что речь идет
о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волновых функциях временные множители, можно обычным образом перейти к независящим от времени матричным элементам:
VJi(t) = Vne-i{Ei-Ef^'i>)t (43,8)
.Еу —начальная и конечная энергии излучающей системы; =F (о — соответственно для испускания и поглощения фотона со).
Волновая функция фотона с определенным импульсом к и определенной поляризацией
А* = К 4я е‘кг (43,9)
(см. (4,3); временной множитель опущен). Подставив в (43,6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде
У/1=еУШу^е^(к), (43,10)
где jfi(k) — ток перехода в импульсном представлении, т. е. компоненты Фурье
lfi(k)=[ifl(r)e-«‘'d?x. (43,11)
Аналогичная формула для поглощения фотона:
Vfl = e\n^-^=e^}f{(-k). (43,12)
Уравнение сохранения тока в импульсном представлении записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода:
= <*>Р// (к) — к]fi (к) = 0. (43,13)
Написанные в этом параграфе формулы, в которых не предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заряженных частиц. Существующая теория дает возможность установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить его матричные элементы) лишь для электронов. При применении же к системам сильновзаимодействукмцих частиц (в том числе к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеноменологической теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-временной симметрии и уравнению непрерывности.
190
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
§ 44. Испускание и поглощение
Вероятность перехода под влиянием возмущения V в первом приближении дается известными формулами теории возмущений (III, § 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру1). Тогда вероятность (в единицу времени) перехода i —>- / с испусканием фотона есть
dw = 2n\Vfi \28 (E;--Ef—ti))dv, (44,1)
где v условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений (при этом волновая функция фотона предполагается нормированной на б-функцию «по шкале v»).
Если испускается фотон с определенным значением момента, то единственной непрерывной величиной является частота о». Интегрирование формулы (44,1) по dvE=d<a устраняет б-функцию (заменяя ю определенным значением со = Ei—Ef), и тогда вероятность перехода
au = 2jt | Vsi |2. (44,2)
