Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, находим окончательно релятивистское уравнение движения спина
^ = 2 [iF>lvav~2[i'u>1Fvluvai (41,7)
(V. Bargmann, L. Michel, V. Telegdi, 1959)1).
Перейдем от 4-вектора а к величине ?, непосредственно характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» системе покоя; связь между а и ? дается формулами (29,7 — 9). Сразу же отметим, что из (41,7) автоматически следует, что a^da^/dt—O, так что = const. Поскольку а^.а» = — ?2, то это означает
*) В другом виде подобное уравнение было впервые найдено fl. И, Френ-
млем (1926).
182 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
естественный результат: при движении частицы ее поляризация ? остается неизменной по величине.
Уравнение, определяющее изменение направления поляризации, получим, перейдя в (41,7) к трехмерным обозначениям. Раскрывая пространственные компоненты этого уравнения, найдем
? - [аН] + (а») Е-^г v (,Е) +
+ТГ v l v 1аВД +ТГ v lav| (vE)'
Сюда надо подставить (29,9), учитывая при дифференцировании равенства p = ev, s2 = p2 + т2 и уравнения движения
-*=вЕ + фН], -g-=e(vE). (41,8)
Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению1):
dl^m + 2l*>,(e-«)[gH]+J^(vH)[vg]+ ?g?Ev33. (41,9)
Особый интерес представляет не столько изменение абсолютного направления поляризации в пространстве, сколько его изменение по отношению к направлению движения. Представим g в виде
Б = пС,| + Б1. (41,10)
(где n = v/u) и выпишем уравнение для проекции ?„ поляризации на направление движения. Вычисление с помощью (41,8—9) приводит к следующему результату 2):
^ п
-ЗГ~~г »и"“лту ^
Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со ско-
х) Если ввести, как это часто делается, для заряженных частиц гирбмаг-
нитный коэффициент (множитель Ланде) g согласно М. = Я;г"-?г »
2т 2 \ 2тс 2 ]
то это уравнение запишется в виде
з.
dt ‘
=5S (*-2+2 х) |?н' «-2> тЬ(vH| [v?i +
+s (*-^r)I? [Ev11- <41Л>
2) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную компоненту уравнения (41,7).
ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
183
ростью (?ц= const). Таким образом, этот результат, указанный уже выше для нерелятивистского случая, действительно, имеет общий характер.
Уточним условия применимости полученных уравнений. Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному условию малости величины полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле (~р/е#) должен быть велик по сравнению с длиной волны частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле должно мало меняться на размерах квазиклассического волнового пакета. Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы (1 /р), а также на комптоновской длине волны, 11т1).
Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость.
В § 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. (33,12))
"“"'-тИ'Ф'Й) <Р—*>. <41’12>
где в Н' включены члены, не содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в Н' следует пренебречь членом с производными от Е (т. е. с divE); можно опустить также малый член с р\не имеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что Н' (в отсутствие магнитного поля) сводится к нерелятивистскому гамильтониану Н' = р2/2/л + еФ.
Формулу (41,12) можно получить также исходя из уравнения (41,9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом.
С точностью до членов первого порядка по скорости v уравнение движения спина в электрическом поле получается из (41,9) в виде
§- = (ц + Ю [Е [Ev]] = (^г + 2|i') К [EV]].
*) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей
8 волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в противном случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими формулами.
Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться существенными дополнительные члены, содержащие производные поля по коор-
Данатам.
134
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
Если потребовать, чтобы это уравнение получалось квантовомеханически путем коммутирования оператора спина с гамильтонианом (согласно (41,3)), то, как легко проверить, надо положить
+ ?)(,[?!¦]). (41,13)
Это и есть искомое выражение. При ц' =0 мы возвращаемся к (41,12). Обратим внимание на то, что «нормальный» магнитный момент е/2т входит с лишним множителем 7а по сравнению с аномальным моментом р,'х).
Задачи
1. Определить изменение направления поляризации частицы при ее движении в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю (v_[ Н).
