Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
) Это следует из тех же соображений о действующем в каждой вершине перэторе электромагнитного взаимодействия, которые были указаны в конце S W для реального фотона.
356
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
дения матриц инвариантен относительно такого преобразования. С другой стороны, согласно (26,3)
Uc'tVc^-t, (79,8)
а потому
и-сЮ (р) Uc = = G(— Р). (79,9)
Но замена G (р) транспонированной матрицей с измененным знаком у р означает, очевидно, изменение направления обхода петли, в которой направление всех стрелок меняется на обратное. Другими словами, произведенное преобразование превращает одну
петлю в другую, причем появляется множитель (—1)^, происхо-
дящий от замены (79,8) в каждой вершине. Таким образом,
П, = (-1)*Пи> (79,10)
т. е. вклады обеих петель одинаковы при четном и противоположны по знаку при нечетном числе вершин.
ГЛАВА IX
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
§ 80. Рассеяние электрона во внешнем поле
Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле представляет собой простейший процесс, существующий уже в первом приближении теории возмущений (первое борновское приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной
где р и р'— начальный и конечный 4-импульсы электрона, а q — p'—р. Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоянном поле сохраняется (е = е'), то q = (0, q)1). Соответствующая амплитуда рассеяния
где А{е) (q) — компонента пространственного разложения Фурье внешнего поля. Сечение рассеяния (согласно (64,26))
Для электростатистического поля Л(е) = (Ло\ 0), так что
Mfi = — ей (р') у0 и (р) А(0е> (q) = — ей* (р') и (р) Л‘е) (q). (80,4)
В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских волн и(р) сводятся к нерелятивистским (двухкомпонентным) амплитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это —не зависящая от р величина, причем в силу принятого нами условия нормировки и*и = 2т. Учитывая это, получим
г) В случае внешнего поля такая диаграмма не запрещается, конечно, законом сохранения 4-импульса (как это было в диаграмме (73,19) с реальным фотоном): квадрат д2, в отличие от квадрата 4-импульса реального фотона, не должен быть равен нулю; из интеграла Фурье, представляющего
(80,1)
M/t = — eu (/>') [уЛ‘е> (q)] и (р),
(80,2)
(80,3)
da— —'^'^(ч) do',
внешнее поле, автоматически выбирается компонента с нужным q.
358
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
где U (q) = еЛ'0С) (q)~ компонента Фурье потенциальной энергии электрона в поле; это выражение совпадает с известной формулой Борна (III (126,4)).
В общем релятивистском случае сечение рассеяния неполяри-зованных электронов получается усреднением квадрата | М{112 по начальным и суммированием по конечным поляризациям, т. е. путем образования величины
ного и конечного электронов; множитель /2 из этих суммирований в усреднение. По изложенным в § 65 правилам получим
Для вычисления следа замечаем, что у{0) (ур) у0 = ур, где р = = (е, — р), и потому
Для поля, создаваемого статическим распределением зарядов с плотностью р(г), имеем
где р (q) — фурье-образ распределения р(г) (формфактор). В частности, для кулоновского поля точечного заряда Ze имеем: p(q) = Ze. Тогда сечение рассеяния
где 0 —угол рассеяния. Поэтому выражение перед скобкой по своей угловой зависимости может быть названо резерфордовским
поляр
где суммирование производится по направлениям спина началь- ^
2
? I Mft J2 = 2 Sp р' (уА™) р(уА<*>*) =
поляр
= yHoe)(q) I2 Sp (tn+yp')y°(m + yp) Y°.
тSp (т + ур')у° (т + ур) уа = т Sp (т + ур') (т + ур) =
= /n2 + p'p = e2 + m2 + рр' =2е2—^
Отсюда сечение
(80,5)
(80,6)
(80,7)
(N. F. Mott, 1929). Квадрат
q2 = 4p2sin2-|- ,
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
359
сечением:
eftTpe3 = do== do sm~i Y (80,8)
(в нерелятивистском пределе коэффициент е2/р4 —*¦ l/mV). Таким образом*),
da — dav&3 ^ 1 — u2sin2. (80,9)
Отметим, что в ультрарелятивистском случае угловое распределение отличается от нерелятивистского сильным подавлением рассеяния назад (при 0—do/d0pe3 —> m2/s2).
В ультрарелятивистском случае для рассеяния на малые углы
(80,7) дает
do = ^^do'. (80,10)
Хотя мы получили эту формулу в борновском приближении (т. е. предполагая Ze2<S: 1), но она остается справедливой (для углов 0^/п/е) также и при Ze2 ~ 1. В этом можно убедиться с помощью ультрарелятивистской точной (по Ze2) волновой функции (39,10). Это решение, справедливое в области (39,2), остается, конечно, справедливым и в асимптотической области сколь угодно больших г. Здесь
F ~ 1 + const-е‘ (р'-м, ~ 1 —cos0~ 02<^ 1,
так что поправочный член остается, как и следовало, малым. Волновая же функция вида eiprF, совпадая по форме с нерелятивистской функцией (с очевидным изменением параметров), имеет тот же асимптотический вид, а поэтому и для сечения получается резерфордовское выражение.
Для вычисления сечения рассеяния произвольно поляризованных электронов можно было бы воспользоваться по общим правилам матрицей плотности (29,13). В данном случае, однако, можно получить результат менее громоздким образом, представив биспинорные амплитуды и(р') и и (р) в виде (23,9); перемножив их, получим
