Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
встречаться свертки операторов гр, гр, Л с «внешними» операторами-операторами рождения начальных или уничтожения конечных частиц. Эти свертки выражаются через волновые функ-
344
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VII
ции начальных и конечных частиц согласно формулам:
<0|Л^|0> = Ля, <о\сра\о> = а;,
<01 -фар 10> = яря, <0|арчр(0> = грр, (77,3)
<0 | bpty | 0> —ф_я, <0 | гр&р [ 0> =
где Ар, 1ря — фотонные и электронные волновые функции с импульсами р (поляризационные индексы, как и в §§ 73, 74, для краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки «внутренних» операторов, стоящих под знаком Т-произведений. Поскольку при применении теоремы Вика последовательность множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих свертках сохранится хронологическая последовательность операторов, так что они заменяются соответствующими пропага-торамиг).
Каждый из членов суммы, в которую разбивается матричный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика, изображается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме п-то приближения содержится п вершин, каждой из которых ставится в соответствие одна из переменных интегрирования — один из 4-векторов X], х2>... В каждой вершине сходится три луча — два сплошных (электронных) и один пунктирный (фотонный), которым соответствуют электронные (ф и яр) и фотонный (А) операторы как функции одной и той же переменной х. При этом
оператору яр соответствует приходящая в вершину, а яр —выходящая из нее линия.
Для иллюстрации приведем несколько примеров соответствия между членами матричного элемента 3-го приближения и диаграммами. Опустив знак интеграла, знаки операторов и знак Т, а также множители —iey и не выписывая аргументов у операто-
*) По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание. При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации операторов с, с+, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных») фотонов. «Внешние» операторы с+, с отвечают, разумеется, именно таким (начальным и конечным) фотонам. Операторы же А (входящие лод злаком Т-произведения) описывают, как было указано в § 78, не только поперечные фотоны. Ситуация здесь такая же, как и при вычислении Dnv в § 76. В силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора <0|ТЛйЛг .. ,]0», которые определяются поперечными частями потенциалов. Тем самым она будет доказана и для любых произведений.
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
345
ров, напишем эти члены символически в виде
&) (yiAy/)(yAf)(fA<p)—
' \
6) (fAf)(fAp)(fAf)=
I
< I ¦ ¦ ¦ <-----[—«Г
<...*-<
(77,4)
в) (фАсрЦфАф)({рАф)— —L-< I < I <,
Для наглядности электронные и фотонные свертки изображены, как и на диаграмме, соответственно сплошными и пунктирными
дугами. Направление стрелок на электронных свертках (от гр к гр) соответствует их направлению на диаграммах. Для внутренних фотонных сверток направление безразлично (что проявляется и в четности фотонного пропагатора как функции х — х').
Среди получаемых таким образом членов есть эквивалентные, отличающиеся лишь перестановкой номеров вершин—соответствием между вершинами и номерами переменных xlt х2,.. ., т. е. попросту обозначением переменных интегрирования. Число таких перестановок равно п\. Оно сокращает множитель 1/я! в (77,1), после чего учитывать диаграммы с перестановкой вершин уже не надо. С этим обстоятельством мы уже сталкивались в §§ 73, 74. Так, эквивалентны две диаграммы 2-го приближения:
В (77,4) и (77,5) изображены только внутренние свертки, которым соответствуют внутренние линии диаграмм (виртуальные электроны и фотоны). Оставшиеся свободными операторы свертываются с теми или иными внешними операторами, в ре-
(77,5)
346
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
U\n. VIII
зультате чего устанавливается соответствие между свободными концами диаграмм и теми или иными начальными и конечными
частицами. При этом гр (свертываясь с операторами af или Щ) дает линию конечного электрона или начального позитрона, а гр (свертываясь с af или bf) — начального электрона или конечного позитрона. Свободный оператор А (свертываясь с с/ или cf) может соответствовать как начальному, так и конечному фотону. Таким образом, получается по нескольку топологически одинаковых (т. е. состоящих из одинакового числа одинаково расположенных линий) диаграмм, отличающихся лишь перестановками начальных и конечных частиц по входящим и выходящим свободным концам. n
Каждая такая перестановка эквивалентна, очевидно, определенной перестановке внешних операторов а, в (77,1). Ясно
поэтому, что если среди начальных или среди конечных частиц имеются тождественные фермионы, то относительные знаки диаграмм, отличающихся нечетным числом перестановок свободных концов, должны быть противоположны.
Непрерывающаяся последовательность сплошных линий на диаграммах составляет электронную линию, вдоль которой стрелки сохраняют непрерывное направление. Такая линия может либо иметь два свободных конца, либо образовывать замкнутую петлю. Так, диаграмма
