Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
подробно описана в § 8. Если в (10.1) а ф- 0, то (см. § 6 гл. 6) будет
иметь место неустойчивость рассматриваемого периодического движения. В
случае а = 0 вопрос об устойчивости решается членами более высокого
порядка в разложении функции Гамильтона (9.1).
Пусть теперь параметры задачи таковы, что резонансы третьего порядка
отсутствуют. В этом случае форму третьего порядка в разложении функции
Гамильтона можно уничтожить полностью. При этом в форме четвертого
порядка (9.3) меняются только члены Кол (и члены более высокого порядка,
обозначенные в (9.3)
TiiKi -{- rijXj - JVhi.
(9.5)
ц=ц(0)
K3 - А V sin (гегфг -f- га;-ф7- - Nw) + О (eliV|+1)f (10.1)
А = еюМ + О (е1*1").
§ iOJ НЕЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 229
точками) и они теперь принимают вид (см. (5.8))
Ко,и + (Ю-2)
В (10.2) и в других формулах действие операторов Dm, 3 (т = = 0,1". . .)
аналогично действию операторов Dm2 (т = 1, 2,. . .) в (9.2), (9.3).
Нормализация формы (9.3) (с учетом модифицированных членов K9t4 из
(10.2)) разбивается на три независимые друг от друга части.
1) Нормализация членов, пропорциональных гг2. Эти члены уже
нормализованы.
2) Нормализация членов, пропорциональных гг. Можно показать, что
нормализация этих членов сводится к усреднению величины Ки2 + К2,2 + . .
. по быстрым фазам движения, определяемого гамильтонианом (8.19), а
нормальная форма этих членов будет такой *): |
Фиъ + с,я).
| 3) Нормализация членов, не зависящих от гг. Последний этап аналогичен
процедуре линейной нормализации, и в результате нелинейной нормализации
функцию Гамильтона возмущенного движения можно привести к виду
К = 2+ЛГ + Я + К, (10.3)
52 (п, ги г,) = ?1ггг + Qtri + QjTj, (10.4)
^ (rt, ru rj) = c/i + clirlri + cljTjTj + c4rf + Ciffj + Cf I, (10.5)
Я = В r\ ¦'* sin (%ф4 + - Nw), (10.6)
S = peljvl + 0(eljvl+1),
где коэффициенты формы (10.5) являются инвариантами функции Гамильтона
относительно канонических преобразований и имеют разложение по е,
аналогичное разложению величин ?2k (k = I, i, /). В (10.3) функция К
имеет порядок относительно гл (к = = I, i, /), более высокий, чем функции
(10.4) - (10.6), и является 2л-периодической функцией переменных <рь <р7-
, w. Нормальная форма (10.3) выписана для случая резонанса четвертого
порядка
(9.4), а в нерезонансном случае в (10.3) будут отсутствовать члены
(10.6).
*) Отметим, что нормализации членов К\ 2 + К% 2 -|- ... могли бы помешать
резонансы ге;!!2; + njSlj = NQ/, где | щ | | щ | = 2. Однако эти
резонансы осуществляются только на границах областей параметрического
резонанса и уже учтены при линейной нормализации.
230
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Рассмотрим случай резонанса четвертого порядка, т. е. будем предполагать,
что выполнено соотношение (9.4) при
щ\ +
п,
4 и В Ф 0, Если
В V \ щ j1"11 щ ||П;1 > | Jf (- N, щ, щ)
(10.7)
то (см. § 6 гл. 6) рассматриваемое периодическое движение будет
неустойчиво. При обратном знаке в неравенстве (10.7) в случае плоской
задачи (т. е. при ге;- = 0) имеет место устойчивость по Ляпунову, а в
случае пространственной задачи - устойчивость в четвертом приближении.
Пусть теперь параметры р,, е таковы, что они принадлежат области
устойчивости линейной задачи, а резонансов третьего и четвертого порядков
нет, т. е. в разложении (10.3) члены (10.6) отсутствуют.
Рассмотрим плоскую задачу (в (10.3) - (10.5) надо положить г,- = 0).
Пусть
| Ж(0,, - Q" 0)^0.j (10.8)
Тогда, согласно теореме Арнольда - Мозера об устойчивости автономной
гамильтоновой системы с двумя степенями свободы (см. главу 4),
исследуемое периодическое движение (5.15) будет устойчиво. Если Ж (Q;, -
Qh 0) = 0, то вопрос об устойчивости членами этого порядка не решается.
Для пространственной задачи, описываемой многомерной гамильтоновой
системой, такого завершенного результата получить не удается. Пусть
определители
Dо = det
дЖ
Du = det
д\Ж dSS
дгтдгп дгт
dSS
дгп 0
(10.9)
(иг, п = I, i, /)
при гi - rt = rj = 0 одновременно в нуль не обращаются. Тогда, согласно
14, 102] (см. также § 1 главы 5), имеет место устойчивость исследуемого
периодического движения для большинства начальных условий.
В рассматриваемой задаче, помимо устойчивости для большинства начальных
условий, решался еще вопрос о формальной устойчивости периодических
движений.
Достаточное условие формальной устойчивости, применявшееся в работе [58]
(см. также главу 8), в рассматриваемой задаче сводится к вопросу о
совместности системы уравнений
X = 0, Ж = 0 (10.10)
относительно гь rit rj в области гг > 0, г} > 0. Нетрудно показать
§ 111
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
231
(исключив гi из (10.10)), что в свою очередь вопрос о совместности этой
системы уравнений сводится к вопросу о знакоопределенности ври гг > 0, Tj
> 0 формы
F = аггг2 + аг/ггг; + а;гД (10.11)
где
аг = сг?2г2 - cnQiQi + CjQ,2,
&ij - - Cij (10.12)
dj -- C- CijQjQi
Пусть
D = atj2 - 4a.iCij. (10.13)
Если D < 0 или если D 0, но все коэффициенты (10.12) имеют одинаковые
