Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
216
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
произволен. При этом qt, pt (i = 1, 2, 3; i ф I) _ величины первого, а гг
- второго порядка малости, и по самому своему смыслу все эти величины, в
отличие от е, являются бесконечно малыми величинами.
Декартовы координаты qb pt возмущенного периодического движения через rt
и е записываются в виде
е + Т---й^ + 0(г?)
qt = У 21 sin w -
Pt = У 21 cosw =
2е3
i
2е3
e + ^-^+0(rf)
sin w,
COS HI.
(6.2)
Частота (5.16) исследуемого периодического движения, записанная через е,
принимает вид
оо
= h + 2 т2}~тсгт% =Xt + ctв2 + О (е4). (6.3)
т- 2
Подставляя в гамильтониан (5.11) вместо qh pt величины (6.2) и собирая
члены одинакового порядка по qt, pt (i Ф I) и ]/] г( |, получаем функцию
Гамильтона возмущенного движения в виде
хде
К = к2 + к3
з
К,
К2 - Ч 2~ Нт, 2!
Къ = ^о,з
i=l
гтМ
Нт: 3)
m=l
#4 = Г? с
2 m (m - 1) 21 mc2m, ;e2(m_2> 1 -|~
m=3
oo
+ "p" Sm, 2 + ^0,4
s
m=l
я
m, 4*
(6.4)
(6.5)
(6.6) (6.7)
В (6.5)-(6.7) значок "Д" означает, что вместо дг и рг в соответствующие
формы надо подставить выражения е sin w и е cos in, а
- (?г^ +Р1щ)Нт' 2'
(6.8)
Функция Гамильтона (6.4) имеет период 2я по переменной w. В (6.4) точками
обозначены члены, порядок малости которых относительно величин дг, pt (i
Ф I) и У\ гг | не ниже пятого.
Итак, первые два этапа схемы исследования орбитальной устойчивости
локальным методом (см. § 3) пройдены.
РЕЗОНАНСЫ
217
§ 7. Резонансы
При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра
р., при которых возможны резонансы первого (ляпуновское условие
существования периодического движения), второго (порождающие точки для
параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для
резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде
такие резонансы можно записать следующим образом:
щ11 + rijkj = Nkt (i, 7, I = 1, 2, 3; 1ф I, j ф Z), (7.1)
где n = \nt\-\-\iij\ - порядок резонанса, N - любое целое число (N Ф 0
при п - 1,2), а Z - номер периодического движения (соответственно I, II
или III типа). Резонансное соотношение
(7.1) перепишем в виде
^-1ш1 4~ 4~ = (7.2)
где кг, к2, к3 - целые числа, с точностью до знака равные числам гег,
rij, N из (7.1), а (щ, со2 находятся из уравнения (4.3) главы 7:
/1+М - м п оч
-у-, н"2 = |/ -^- • (7-3).
Здесь введено обозначение М = У1 - 27р (1 - ц). В
интересующей нас области 0 < р. < р.* выполняются неравенства
0 <
< М < 1, а
^ = ^_Унш. + г а, (?4)
При решении вопроса о том, какие из резонансов (7.2) надо учитывать для
полного исследования устойчивости движений в многомерных гамильтоновых
системах, полезно руководствоваться следующими двумя соображениями:
1) в конкретной задаче частоты линейной системы зависят от параметров
известным образом и, следовательно, в рассматриваемой области параметров
на них наложены какие-то ограничения; поэтому из всех резонансов (7.2)
надо отобрать только принципиально возможные;
2) структура функции Гамильтона в конкретной задаче часто такова, что
некоторые из принципиально возможных резонансов, не проявляются в
процессе нормализации функции Гамильтона и" следовательно, рассматривать
их не имеет смысла.
В рассматриваемой здесь задаче для решения вопроса о принципиальной
возможности резонанса (7.2) разрешим уравнение-
(7.2) относительно М и получим
fe2)lfti + fc2 2fcg) + 4/CXfeafe3 "У к I + fc(r) -- fcg
M's-------------------------------------(ЧТФ-------------------------'
( >
218
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
а в плоской задаче (к3 = 0)
kl - Щ
м=М- <7-6)
Тогда из всех резонансов (7.2) принципиально возможными будут только
такие, для которых хотя бы одна из величин (7.5) (или величина (7.6) для
плоской задачи), подсчитанная по данным kt, к2, к3, будет заключена в
интервале 0 <С М < 1.
Далее, функция Гамильтона является четной относительно пространственных
переменных q3, р3. Это означает, что из всех принципиально возможных
резонансов имеет смысл рассматривать только такие, для которых величина
к3 четна.
Все резонансы, проявляющиеся в исследуемых задачах 1а), 16), 2а), 26) и
3), приведены в табл. 10-14. При рассмотрении периодических движений I
(или II) типа в пространственной задаче
Таблица 10
2п
т ^ - , плоская задача
0)i
п Резонанс м Форма Я* т Порядок 8 Примечание
й>2 =0 1 н* II О
1 Ша =ШХ 0 Я* р = р,*
2 2ша - о)г 3/5 н* 1
Зш2 = o>i 4/5 н* 1
3 Зо)2 = 2о)! 5/13 н* 2
4(1)2 = 0)! 15/17 н* 1
4 4ш2 = Зшх 7/25 н* 3
надо учитывать как резонансы из табл. 11 (или 13), так и резонансы из
табл. 10 (или 12). В первом столбце этих пяти таблиц выписан порядок
резонанса, во втором - явное выражение резонансного соотношения через
частоты юх, со2, со3 = 1, в третьем - значение параметра М,
соответствующее этому резонансу и вычисленное по формуле (7.5) или (7.6),
в четвертом столбце указана та форма Нт, в которой первый раз проявляется
этот резонанс *), а в пя-
*) Резонанс (7.1) проявляется первый раз при учете такой формы Я^ из
