Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
выражения [63]:
С101-----------
соп -
с<>02
3(1-2ш*) (4-0)2) 8о)20)2 3(1-20)2)(4-со?) '
(0*0)2
(1.5)
3(4 -0)2) (4 -0)2)
Графики коэффициентов (1.5) в зависимости от [х представлены на рис. 7.
§ 2. Устойчивость для большинства начальных условий
В этом параграфе мы докажем следующее утверждение.
Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел
треугольные точки либрации устойчивы для большинства (в смысле меры
Лебега) начальных условий при всех р. из области устойчивости в первом
приближении (значения [хх и |х2 исключаются).
Доказательство. При [х = [х4 (i = 1, 2) точки либрации неустойчивы, как
уже об этом говорилось выше. Пусть ц Ф цх и [х =т^= |х2. Тогда
гамильтониан возмущенного движения может быть представлен в виде (1.3).
Согласно исследованиям Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства
устойчивости для большинства начальных условий достаточно проверить
отличие от нуля определителя четвертого порядка
дЩ дЬ дг.
Da - det
dridri
dL
dri
0
(2.1)
Раскрывая определитель (2.1) и используя выражения (1.1) и
(1.4), получаем
Da = (Oj (con - 4со2оСоог) + о>2 (cioi - 4с2ооСоог) Т*
"1" (с110 4с2ооСо2о) + 2(010)2(c1oiC01i - 2соо2с11о) -
- 2со1о)3 (соцСхю 2cowcioi) Ч- 2ю2(о3 (с110Сю1 - 2с2ооСоц). (2.2)
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
135
Преобразуем выражение (2.2) к более простому виду, используя явные
зависимости коэффициентов нормальной формы от а"! и <о2 согласно формулам
(4.6) главы 7 и формулам (1.5) настоящей главы. Выражение для можно
записать в виде функции аргумента и = ац2а>22. Получаем
п__________________/ (")________________________ /о 31
~~ 5184(4 - и)2 (25 - 4u)2(l + 12u)2 ' v ' '
где через /(и) обозначен многочлен пятой степени от и:
/ (м)=73908288и5-356526576и4+2645643564м3-
-5787985485 к2 - 759408680м - 317395600.
Из уравнения (4.3) главы 7 получаем
2 2 27 .. v
(r)1(r)2 =- ^(1 - ]*)•
А так как в области устойчивости в первом приближении выполняется
неравенство 0< 27[х (1 - р.) < 1, то очевидно, что при всех [х в этой
области выполнено неравенство и ]> 4.
Многочлен f(u) и его производные при и = 4 имеют такие числовые значения:
/ = 57769673472, fl = 83259403696, /п = 78068980614, /ш = 52599266568,
/IV = 26919340416, /v = 8868994560.
Так как все эти значения положительны, то (см., например, [35]) при и 4
уравнение f(u) == 0 не имеет корней. Тем самым доказана выполнимость
неравенства Ф 0 при всех р, из области устойчивости в первом приближении
(кроме р = рх и р = = р2). А значит, доказана и сформулированная в начале
параграфа теорема об устойчивости точек либрации для большинства
начальных условий.
§ 3. Формальная устойчивость
Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело Р бесконечно малой
массы будет образовывать с телами конечных масс S и / треугольник,
близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от
вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному
движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно
[4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам,
движение тела Р будет условнопериодическим. Таким образом, с
вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в
пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но
каково движение тела Р для начальных условий, соответствующих соизмеримым
(или почти соизмеримым) частотам?
136
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 3
Исследуемая механическая система обладает тремя степенями свободы. А в
многомерных гамильтоновых системах, как уже подробно говорилось в пятой
главе, может быть неустойчивость по Ляпунову, несмотря на то, что
выполнены условия устойчивости для большинства начальных условий.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости точек либрации с
точки зрения формальной устойчивости и в результате докажем такое
утверждение.
Теорема. Область О <С 27р. (1 - р.) < 1 устойчивости в первом приближении
разбивается на пять интервалов:
О < р < 0,010913. . .; 0,016376. . . < р < рх = 0,024293...;
Pi < Р < 9* = 0,038520. . .; (3.1)
0,010913. . .< р < р2 = 0,013516. . .; р2<р<0,016376. . .,(3.2)
причем в интервалах (3.1) треугольные точки либрации пространственной
круговой ограниченной задачи трех тел формально устойчивы, а в интервалах
(3.2) формальная устойчивость имеет место для почти всех значений р;
исключения, быть может, составляют значения р, при которых частоты со, (i
= 1, 2, 3; ю3 = 1) линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукратного
резонанса
Axftii k%(i>2 + k3a>3 - 0, k ejj -f- &gC02 -f- к3ы3 = 0,
* . * . (3.3)
ki,ki-целые числа, Zi\ki\~^l, 2j|&j|>7.
i=f i=l
Справедливость теоремы мы покажем в несколько этапов. Сначала, следуя
[58], покажем формальную устойчивость для значений р, лежащих в
интервалах (3.1). Для этого заметим, что при помощи преобразования
Биркгофа в функции Гамильтона (1.3) можно нормализовать совокупность
членов пятого, шестого и т. д. порядков. И если р принадлежит область
