Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
I / SfC 1М ¦ 9^ \ /г" / " ^ . 9lS \ 9^
.[) J О |
#2 . Pi J-Pi + -^-'VJ = 17'- (2ЛЗ)
Приравнивая одинаковые одночлены в обеих частях этого тождества, получим
систему десяти дифференциальных уравнений для нахождения sv,vhiiH2-
Правые части этой системы квадратичным образом зависят от и
содержат неопределенные еще
величины ки Хг. Последние находятся из условий периодичности ФУНКЦИЙ
SvyiWi-
Правые части системы дифференциальных уравнений при достаточно малых е
будут аналитическими функциями е, если рассматривать значения р из
интервала (2.3), исключая граничную точку области параметрического
резонанса р0 = 0,028595. Действительно, легко проверить, что при этих
значениях р
| (r)7> + (r)т | $,
где N - 0, 1, 2, 3, . . .; п - 1, 2; т = 1, 2. Поэтому (см. § б второй
главы) характеристические показатели будут аналитическими функциями е.
Учитывая еще очевидную аналитичность Н%
§ 2J ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 153
по е, получаем, что и функции Я-л';ц,ц2 будут аналитическими по е.
Функции и величины 1Х, 12 будем искать в виде рядов
sViV2HiHj = ~Ь e2sVlVjMiP2 4" • • • * (2-14;)
кг = сох + el(tm) + + ..., l2 = - со2 + el(tm) + e*l(tm)+ ... (2.15)
Подставив ряды (2.14) и (2.15) в тождество (2.13) и произведя разложение
по степеням е, получим систему дифференциальных уравнений для в$2ц,м2-
Ограничимся нахождением нормализующего преобразования с точностью до
первой степени эксцентриситета. Получаем систему уравнений
rf.(D ^S(D
-Jj32- = - 2i cos v &г010 + H(i\ ---= - 2i coe v ao101 + il(tm), (2.161
а для остальных восьми функций 4л,ц,ц! rfs(1)
ViVjHiHj ,- [Xx) 0)x - (V2 - Ц2) <*>2] sViV2Hi|i* = - 2i COS V
flvjVtHtftj-
dv
(2.17)
Из условий периодичности функций 4oio и 4ioi получаем A,ix) = = I(tm) = 0.
Периодические решения системы (2.16) - (2.17) получаются следующими:
о<1>_______________2i<W.P,___________/sin v _1_
+ i [(Vi - Цх)(r)! - (v2 - р2)Юг] COS v). (2.18>
Следует отметить, что функции ^л2ц,ц2 содержат только первые гармоники v.
Можно показать, рассматривая следующие приближения по е, что N-я
гармоника появляется в функциях sv,v!pi,n2. с коэффициентом,
пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей N.
Теперь по комплекснозначной функции S найдем вещественное преобразование
qj, pj -> qf, pf функции (2.6) к нормальной форме (2.1). Пусть она
задается производящей функцией
7iP* + ЧъР* + К (qj, pf, v).
Так как функция К имеет порядок е, то из формул преобразования
* ~ , дК ~ * , ЭК
154 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
с точностью до первой степени эксцентриситета получаем
~ * дК* ~ * . дК*
9} - 9j я~*~ ' Pi Pj л * 1 (2-19)
°Pj °яj
где К* = KW> (qf, р*, v), a Kw - коэффициент при первой степени е в
разложении функции К по степеням эксцентриситета.
Выразим К* через S(l>. Из формул (2.12) с точностью до первой степени
эксцентриситета находим
" ** д?** " ** . 3.9** /0 ОГ1Ч
9} = 9} - ' Pi = Pi + • (2'2°)
Здесь S** (q**, pf*, v). Далее, учитывая связь комплекс
ных канонических переменных с вещественными
я] = Pj + Чр Pi = Pj - Чь
9} = Pj + 4i, Pj = Pj - Щ]
и обозначая через W (qf, pf, v) функцию .S^ (pf + iqf, pf - iqf, *v),
находим из формул (2.20)
* 1 dW _ * 1 9FF /0
^ = P>' = ft+-2T^f (2<21)
J
Сопоставляя формулы (2.19) и (2.21), получаем = ^W-¦Функция
ж* = 2 К^дГчГ'рГ'рГ'
Vi+V2+Hi+Ms=2
¦будет вещественной. При помощи формул (2.7), (2.10), (2.18) для ее
коэффициентов получаем такие выражения:
*2000 = Yi^i [(16со(r) - 12ю? - 88(0? + 9) sin v - 16&(o? cos vj, *0200 =
~Т2И2 [(16co(r) - 12(02 - 88a>2 + 9) sin v - 16&(o| cos v], Аоого = [(8w?
- 2w? - 45(0? -f 18) sin v + 8&(o? cos v],
*0002 = -Ц8(о* - 2(0* - 45(0(r) + 18) sin v + 8&(0(r) cos v], *uoo = -2P (9
sin v + 2k cos v),
*1010 - 2yi(oJ [8A sin v - (8w? - 2(0? + 27) cos v], (2.22)
*1001 = -2p")2[2* sin v + (4(0? - 9) cos v],
*ouo = 2P">1[2A: sin v + (4ю? - 9) cos v],
*0101 = 2Ya(r)a f8* sin v - (8(o2 - 2(0? + 27) cos v],
*0011 = вр(r)!(r)* (sin v - k cos v).
Здесь введено обозначение yj = [2(2ю| - 1)(4ш? - l)(4(o| + 9)]_1.
РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
155
Таким образом, преобразование функции Гамильтона Нг к нормальной форме с
точностью до первой степени эксцентриситета найдено. Оно получается из
трех пребразований: по формулам
(4.2) главы 7, по формулам (2.5) и, наконец, по формулам (2.19).
Коэффициенты функции К задаются формулами (2.22).
§ 3. Резонансные кривые
Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной форме члены
третьего и четвертого порядков в разложении функции Гамильтона.
Нормальная форма будет различной в зависимости от того, будут параметры
ц, е резонансными или нет. Оказывается, что в плоскости ц, е внутри
области устойчивости линеаризованной задачи есть кривые, на которых
выполняются резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти
кривы(c) при е = 0 исходят из точек |х(0) оси Оц, выписанных во второй
строке табл. 2 и 3. На рис. 14 внутри области устойчивости
Таблица Z
Резонанс ЗХ2= - 1 2%г~ 0 Хг" 1 Xi-- 21.2- 2 ЗХг=- 2
