Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
3.6.2. Шар бросают под углом а к горизонту с начальной скоростью й).
Когда он достигнет наибольшей высоты, в него ударяет шар той же массы,
движущейся вниз со скоростью Vo/2 к моменту удара.
Определить расстояние d между шарами через время t после удара. Удар
центральный, коэффициент восстановления е.
Решение. К моменту удара первый шар имеет только горизонтальную скорость
o:c=oocos а, которая после удара не меняется, а второй шар - только
вертикальную скорость vv=vqI2. Так как удар частично упругий, то
вертикальные
76
скорости обоих шаров после удара меняются. Обозначим их щ и иг
соответственно, тогда
Щ -* U-i
О
Во /2
= ти,
тиг.
(1)
(2)
по вертикали и и2 направлены в одну сторону.
Из (1) и (2)
н2 = (1-е)п0/4; их = (1 - е) и0/4.
Так как после удара оба шара двигаются вниз с одинаковым ускорением g, то
их относительная скорость не меняется и равна
щ - ы2 = ео0/2.
Таким образом, вертикальное расстояние между шарами через tc равно
Д у = ev0t/2,
а горизонтальное
Д х - v0tcos а.
Полное расстояние d между шарами
d = VД*2 Ь Д*/2 = ~*У 4cos2a f е2.
3.6.3. Шарик ударяется в
ясь в нормальной к ней плоскости так, что его скорость в момент удара
составляет угол ао = 30° с вертикалью, направлена снизу вверх и равна Vi
(рис. 23).
стоянии х от стенки шар упадет на горизонтальн
плоскость. Коэффициент восстановления е, высота места удара над
горизонтальной
плоскостью h.
Решение. После частично упругого v2?=Vi н угол отражения а2=йс11=60°.
е = |п2"|/|о1п|.
До удара
г н \ \ Я4/ / / / ( 1 *=.
'Л /' П / \ \ л \ \ ^2 \ _
Рис. 23
удара скорость (1)
vly = 0, sin ах; vln = v1 COS av
(2)
77
После удара
V2y = v2 sin a2; v2n = v2 cos a2. (3)
Ho
щу = vly. (4)
Из (1), (2) и (3) с учетом (4) получаем
*/e tg п2 = tg a2. (5)
Из кинематики наибольшая высота подъема тела Н = v* sin2 a2/2 g
и время t свободного падения с высоты H+h
V
sin2 °г 2gh _
Половина наибольшего пути по оси п sin 2аа
Sx ---------, a S2 - v2 cos e21.
Искомый путь X = Si + S2,
x = - v2 cosa2(v2sin a2 -|- |Л|sin2a2 + 2gh). e
Но из (1) И (3) o2cosa2 = e^cosa!, а
sin a2 = tg a2 cos a2 = 2/e tg ay cos a2.
После замены и подстановки cti=60° получим окончательно
х = (vL 1/3 + l/Зо2 )- 8gh)/4g.
3.6.4. Боек молота массы m=10 т падает со скоростью
v=5 м/с на наковальню с отковываемым металлом массы М=: 240 т.
Определить коэффициент полезного действия молота тр Удар частично
упругий, коэффициент восстановления е=0,3.
Решение. Обозначим скорость бойка после удара "ь скорость наковальни н2
(обе в одну сторону), до удара скорость наковальни v = 0. Тогда
' = (1) V
mv = Ми2 -+ тиъ (2)
откуда
78
"1!
у (т - еМ) . _ то(\ +в)
т -j- М ' 2 т + М
Коэффициент полезного действия г) = Д?,/?ь где Ei - mv2/2, а ДЕ -
потерянная энергия (так как она затрачена на ковку):
д? = тг)2 I m"i ¦ Ми* ^ __ тМуг{ 1 -г2)
2 \ 2 2 / 2(rtt+~M)
= 1И(1-и") = 240(1 -0,09) = g74.
т + М 10 + 240
при е=1 rj = 0.
4. Контрольные вопросы
4.1. Какие внутренние силы могут изменить механическую энергию тел при
ударе?
4.2. Сравнить задачи 3.5.2 и 3.6.2. При каких предположениях о свойствах
тел угол падения равен углу отражения, а при каких не равен?
4.3. В каких пределах меняется коэффициент восстановления?
4.4. Вся масса тела может быть условно сосредоточена в центре тяжести
тела и в центре качания его. Когда можно и удобно пользоваться первым, а
когда вторым условием? Как ими пользуются в задаче 3.2.1?
4.5. Что такое радиус инерции тела? Для расчета какой физической величины
им удобно пользоваться и почему?
4.6. Можно ли в задаче 3.3.2 положить щ = 0? К чему это приведет?
5. Задачи для самостоятельного решения
5.1. Два тела, получив встречные ударные импульсы si s2, соударяются.
Определить скорость тел v после удара, если их общая масса равна М. 'Удар
абсолютно неупругий, центральный и прямой. Трением н сопротивлением
пренебречь.
Ответ: v-(si-Szj/M.
5.2. Ледовая баба двойного действия опускается без начальной скорости с
высоты h = 2 м, испытывая среднюю суммарную силу давления пара /4=9000 Н.
Определить перемещение d забиваемой сваи при ударе, считая среднее
сопротивление грунта /^=900 000 Н. Коэффициент полезного действия
t)=?,2/.?'i=0,6. Удар абсолютно неупругнй.
Ответ: d=2 см.
5.3. Математический маятник массы т. длины I и невесомый стержень длины
21 с материальной точкой массы т на
79
конце могут вращаться относительно горизонтальной осн. Маятник отклонили
на угол 90° и отпустили. После удара маятник н стержень двигаются вместе.
На какой угол а отклонится система?
Ответ: Cos а= 14/15.
5.4. Тонкая деревянная палочка массы М длины I может вращаться около
горизонтальной осн. Палочка начинает свое движение из вертикального
положения под действием силы тяжести. Когда она проходит горизонтальное
положение, в ее середину попадает двигавшаяся вертикально пуля массы т,
которая застревает в ней. После удара палочка на мгновение
останавливается, а затем двигается вниз.
Найтн скорость пули v.
