Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поделив (1) на (2), получим
vx f ux = иг.
Умножив (З).на и сложив с (2), найдем и2:
2тх
"2 = 0Х.
тх + т2
Рассмотрев также удар второго и третьего шаров, найдем:
(1)
(2)
(3)
и" =
2т3 Ш2+ т3
72
Подставив значение и2, получим
4 mjVx
-j- /Tig -j- tTl-2 -j- TTlj/Tlg/ /Tig
Наибольшее us будет при наименьшем знаменателе:
откуда
т2 = V ЩуПЦ.
3.3.2. Шар массы т, имея скорость v0, ударяет шар массы М н
останавливается.
Найти скорость шара М после удара. Коэффициент восстановления ft=l; удар
центральный, прямой.
Решение. Пусть шар М имел до удара скорость Vi, после удара - скорость
v2. Направление t"i по отношению к v0 неизвестно, но vi=?0. Воспользуемся
законами сохранения механической энергии и количества движения:
Члены с М и m сгруппируем по разные стороны знака равенства и, поделив
одно на другое, получим
Из (3) и (2) найдем
Знак Vi определяется значением Мит, величина v2 от направления Vi не
зависит.
3.4.1. Стержень длины а массы т0 может свободно вращаться в
горизонтальной плоскости относительно вертикальной оси, проходящей через
его конец. Во второй конец (в край) нормально к стержню ударяет шар массы
т, летящий в горизонтальной плоскости со скоростью V.
Найти скорость шара щ н угловую скорость стержня после абсолютно упругого
удара.
Решение. В горизонтальной плоскости система замкнута. Воспользуемся
законами сохранения механической энергии и момента импульса:
f Mvf = Mi|, mvo 4- Mvx = Mv2.
(1)
(2)
4-й тип задач (3.4)
73
mv2 = JaP -f mv\,
(1)
amv = /со - amvlt (2)
где J=moa2/3, vt- скорость шара после удара.
Из (1) н (2) получим
v Ь vy = оса. (3)
Из (3) и (2) найдем
2 mv т - т0/3
(О =-----------, = --------V.
aim-untold) т + то/3
Направление Vi шара зависит от величины масс т и mfe.
3.4.2. Стержень массы т и длины I падает из горизонтального
положения, вращаясь около оси О. Проходя положение равновесия, он концом
абсолютно упруго ударяет математический маятник такой же массы т н длины
I.
На какую высоту h поднимется маятник?
Решение. Найдем угловую скорость стержня ш в момент удара:
I тР iо2 ...
mgT0)
Пусть скорость стержня после удара со2, а маятника ом, тогда
тР со2 тРш21 тр ш|
"+ /Г-'
3 2 2 3
тр ,о тР
со = ml a>i----------------------- со2. (3)
Вся кинетическая энергия маятника перейдет в потенциальную:
три>\
2
= mgh. (4)
Из этих уравнений Л=3/8 А
3.4.3. Однородный диск массы М и радиуса Я лежит на гладкой
горизонтальной поверхности. По ободу диска наносят удар, направленный
вдоль лннин, лежащей в плоскости диска на расстоянии а от центра.
Определить скорость в момент окончания удара. Импульс удара равен s.
Решение. Изменение количества движения диска за время удара равно
внешнему импульсу:
Mv, - Mvi = s, (1)
где v2 - скорость центра диска после удара, до удара щ=0.
Т4
Изменение момента импульса диска равно моменту ударного импульса
относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости
диска:
где со2- угловая скорость после удара, coi=0. Таким образом,
3.5.1. Два одинаковых абсолютно упругих гладких шара двигаются
поступательно. В момент удара скорость центра тяжести шара 1 направлена
вдоль линии центров направо, а скорость о2 центра тяжести шара 2
перпендикулярна к линии центров.
Определить Hi и н2 скорости центров тяжести шаров в конце абсолютно
упругого удара и угол р наклона к линии центров.
Решение. Разложив скорости по направлению линии центров (х-компонента) и
перпендикулярному ей ((/-компонента), воспользуемся законами сохранения:
По условию m1=m2, viy=0, 0^=0, vix=vu viy=vz. Прн центральном ударе
одинаковых шаров они обмениваются скоростями, направленными вдоль линии
центров; перпендикулярные к ней составляющие не меняются (нет трения), т.
е.
Таким образом, шар 1 останавливается, а шар 2 получает скорости:
Над = 04 И Ulx = ?>!, U2 = 1/of f Ц|, tg Р = Над/Над = vjvt.
3.5.2. Найти количество движения р, которое получает неподвижная
стенка при упругом ударе об нее тела массы т,
v2 = s/M, (о2 = 2 safMR2.
5-й тип задач (3.5)
mxvlt f m2v2y = щщу 4- m2v2y, mxvXx 4- m2v2x = mxulx -г m2u2x,
(1)
(2)
(3)
(r)1у Uly 0, v2y -¦ Над v2, Ujjc Над 0.
75
скорость которого v составляет угол а с нормалью N к стенке (рис. 22).
Решение. Так как тангенциальная составляющая скорости не меняет своего
значения (трення нет), то
p = m(o1-5!) = mA!), р = - mo cos а - rrvv cos а,
р = - 2mv cos а.
6-й тип задач (3.6) р
3.6.1. Первый шар ударяет второй так, что второй шар после удара
останавливается.
Определить скорость первого шара до удара. Массы шаров одинаковы^ удар
центральный, скорость второго шара до удара V, коэффициент восстановления
е.
Решение. Для выполнения условий задачи шары должны двигаться навстречу
друг другу. Коэффициент восстановления может быть определен как модуль
отношения нормальных проекций абсолютных скоростей точки после удара н до
удара.
Пусть скорость первого шара до удара щ, а после и, тогда
tnvx - mv = mu, (2)
