Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
— і
H0 — косинус угла рассеяния.
Очевидно, что приведенное разложение члена рассеяния в уравнении переноса в виде суммы полиномов Лежандра не является необходимым условием методов дискретных ординат. Можно применять и другие полиномы, полиномы плюс дельт а-функции. Кроме того, можно использовать прямое интегрирование дифференциальных сечений. Однако наиболее широко используется все-таки разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по сферическим гармони-
187
кам). Такое разложение оказывается наиболее естественным, так как сферические гармоники являются представлением трехмерной группы вращения [27].
Обычно в программах, использующих многогрупповые методы дискретных ординат, решается система связанных односкоростных уравнений вида
d^e (*. M-) . / ч . / \
H-------------\-ое (х) i|>g(*> ц) =
OX
оо Q
= 2 ~^-pi(v) 2 (*)<#Lg(*) + Qg(*, ц), g= 1, 2, ..., G, (5.30)
/ = O 411 g' = l
где
N P
У I. g' (*) = 2 л 2 Wi P1 ([X1.) г[у (х, (I4) ^ 2л \ P1 (ц) г|у (х, ц) dll, г= I _ 1
a g — индекс группы, причем Eg ^ E ^ Eg.г, как и в гл. 4. На практике суммирование по /, конечно, ограничивается некоторым числом членов L. Если это уравнение рассматривать для фиксированной группы, то видно, что оно соответствует уравнению односкоростной задачи, имеющему правую часть с анизотропным рассеянием и анизотропным источником, как в уравнении (5.9). Как и в разд. 4.3.2, в уравнении (5.30) члены в правой части cg' =g фигурируют в качестве анизотропного рассеяния, в то время как члены с g'?=g можно рассмат-риватькак часть независимого источника для одногруппового расчета. Таким образом, источник для односкоростной задачи в группе g можно представить, в обозначениях уравнения (5.3), в следующем виде:
OO
Я (*. Ц) = 2 Pl M 2 В' ар- е (х) + Qg (х> И)-
/=O 4jl g~g
Теперь требуется сделать выбор групповых сечений таким образом, чтобы решение i|)g (х, |л) уравнения (5.30) в максимальной мере соответствовало интегралу от Ф (х, (х, Е) по всему энергетическому интервалу каждой группы g.
5.4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППОВЫХ КОНСТАНТ
Если уравнение (5.29) просто проинтегрировать по интервалу энергий от Eg до ?,g_1 и использовать определения
?g-i
Фг (х, ц) s J ф (х, [г, Е) dE = J Ф (х, [х, Е) dE,
Eg *
то очевидно, что уравнение (5.30) не получится заменой в найденном выражении Фё на я|)g. Как отмечалось в разд. 5.4.1, причина этого в том, что второй член в левой части уравнения (5.29) становится равным Og (лг, |х) (х, |х), где
Og (х, |х) = 5 сг (х) Ф (х, /л, E)dE Д Ф (х, |х, Е) dE,
g Ig
так что Og зависит от |х. Эту трудность можно обойти различными способами.
Один из них такой: предположим, что внутри энергетической группы можно разделить переменные и выделить зависимость потока Ф от энергии Е. Тогда
Ф (х, jx, Е) = Z1 (*, ц)/а (E).
Это приводит к тому, что сечение Og становится не зависящим от |х, и можно установить эквивалентность между уравнениями (5.29) и (5.30). Хотя такое
приближение можно иногда использовать, оно в общем случае не является
достаточно удовлетворительным и поэтому его не следует применять всегда.
188
Ниже дано еще одно приближение, которое оказывается удовлетворительным во всех случаях [28]. В этом приближении поток нейтронов во втором члене левой части уравнения (5.29) сначала раскладывается в ряд по полиномам, т. е.
OO
Ф(*, ц, ?)= 2 pI M 0/(*. ?)’
I = о 4я
а затем уравнение интегрируется по энергии Е. В результате
<?<I>g (X, fi)
дх
Z=O 411 г = і где 6g'g — символ Кронекера, а
Jo(.v, ?) Фі(х, Е) dE
O1, t W = -------—-----------; (5.32)
Фі,еП
J Фі (х, ?') J Gi (х; E' -»¦ Е) dE dE'
«I.e-t W= ?--------------------п--------------(5.33)
Ф I. g' (Х)
представляют собой усредненные по потоку групповые сечения, точно такие же как в уравнениях (4.26) и (4.27) соответственно. Если теперь к обеим частям уравнения (5.31) добавить произведение Og (х)Фв (х, |л), причем в правой части Фг (х, |х) представить в виде суммы полиномов, а в левой — нет, то получим
M- d^yx ^ + °е W фг (X, ^) =
= 2^^м 2 ? !.и*) *
/=O 4jl g'=l
X {оI, g> ~g(x) + [og (x)— oL g (X)] Sg'g} -f Qg (x, II). (5.34)
При условии, что имеются приближенные значения[функций ф і, как в гл. 4, для использования в уравнениях (5.32) и (5.33), все сечения в уравнении (5.34) оказываются известными, за исключением оё, которые еще не определены.
Уравнение (5.34) по виду идентично уравнению (5.30). Групповые константы в последнем уравнении можно теперь выбрать такими, чтобы соответствующие члены в уравнениях (5.30) и (5.34) были равны. Для g' фц сечения перехода Og1-Lg в уравнении (5.30) должны удовлетворять требованию
о{ґ~ g = °i.'g' - g Для g' Ф g, (5.35)
а сечения перехода Oitg-^g быть такими же, как в Рлгприближении [см. уравнение (4.27)]. Для g' = g единственное требование состоит в том, чтобы
0I- g-~g^-°g °i>g = 0g)-~g' (5.36)
Здесь ohg^.g и oUg, в принципе, известны из уравнений (5.32) и (5.33), но og И Og1Ig не известны. Точный результат можно получить при условии, что последние сечения выбираются так, чтобы удовлетворить уравнению (5.36).
