Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
5.3.4. РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ .
По существу односкоростное уравнение (5.20) нельзя решить из-за слишком большого числа неизвестных Ф (г, |х). Следовательно, необходимо постулировать некоторые дополнительные соотношения между ними. Предположим, что необходимо решить задачу с граничным условием на внешней границе радиусом г(. Как и в случае плоской геометрии расчет Ф начинается с некоторого выбранного члена источника q (г, |х), так что q можно считать известным. Начиная с внешней границы с граничным условием, определяющим поток входящих нейтронов Ф (г, jx) для (х < 0, рассматривается выделенное направление с jx = —1. Из уравнения (5.15) видно, что для jx = —1 уравнение переноса имеет точно такой же вид, как и в плоской геометрии, т. е.
182
вид уравнения (5.1) с правой частью, обозначенной q. Следовательно, в этом направлении интегрирование проводится внутрь к центру способом, аналогичным тому, который использовался в плоской геометрии, так что Ф (л,+1/2, Hi/2) можно определив для всех значений і С |Ді/2 = —1.
Далее интегрирование внутрь к центру начинается для (X1. На любом шаге в этом процессе Ф (/-,-+1/2, (Х1/2) известно, и Ф (?) получается из предыдущего шага или вначале из гра- rL
ничных условий. Таким образом, I I
в уравнении (5.20) для п = I I I 1
Ф (г;+1/2, и-1/2) и Ф(гі+1,Ці) j, _ J-------------------I-----------'-----
известны, а неизвестными яв- | I j
ЛЯЮТСЯ Ф (п, H1), Ф (Г[+1/2, (Х3/2) I ! I
и Ф (г; + j/2, (X1). Методы, позво- ---------1-----------------------І-----Яп+ІІг
ляющіге исключить два из трех I ^ ^ j [
неизвестных, приводятся ниже. I ^ I I
Обычно ДЛЯ любого (X71 С О Jtn ---------і-----------------
неизвестными в уравнении (5.20) I I I
ЯВЛЯЮТСЯ _Ф (ги (An), Ф (г,+1/2, _____1_ _ _ _________J____
fift+1/г) И Ф (л,+ 1/2, Hn). Следова- \ T Мп'1!г
тельно, чтобы решить уравнение, ! I I
требуются два дополнительных Jjn^i —J--------------------1------------I----
соотношения между этими тремя ' І і
величинами. Простейшим из та- ^ I I
ких соотношений оказывается так I rc+г I
называемая «ромбовидная» раз- Рис. 5.4. Пространственная сетка для «ром-ностная схема, в которой поток бовидной» конечно-разностной схемы.
Ф в данной точке определяется в виде среднего арифметического между значениями потока в соседних счетных точках г, (.і (рис. 5.4). Таким образом,
2Ф (гС+1/2, (An) « ф (г,+1, (An) + Ф (г*. (An); (5.23)
« Ф (лг+і/2, Цп+ і/г) +Ф {гі+ 1/2, М-n— і/г)- (5.24)
Уравнения (5.23) и (5.24) можно теперь использовать в уравнении (5.20) для того, чтобы исключить Ф (г і, (Xn) и Ф(л,+ 1/2, (.In+і/г). Решая полученное уравнение относительно Ф (л, +1/2, (An), можно найти, что
Ф(^+1/2, Hn) =
= ~‘Цп (Ai + ^г+х) ф (ri+X’ ^n) + (1/Шп) (ап+1 / 2 + ап—\/ г)ф {ri+\ /2> М-п-1 /2) + Vq -К (Ai + Ai+l) +(1^n) (an+ I /2 + an- I /2> +
(5.25)
где использовалось уравнение (5.21) для записи знаменателя в симметричном виде. После того как Ф определено таким способом, можно, используя полученные выше значения Ф (гг+1, (An) и Ф (^г+і/2, Hn_____1/2), применить уравне-
ния (5.23) и (5.24) для нахождения Ф (rt, (Xn) и Ф (ri+1/2, їх*+1/2), которые потребуются для последующих шагов.
Повторяя этот процесс, можно найти значения Ф для всех пространственных точек и всех направлений входящих нейтронов, т. е. для (An < 0. Для направлений выходящих нейтронов, т. е. (хп > 0, интегрирование проводится от центра наружу в соответствии с установленным ранее принципом, что численные ошибки уменьшаются, если интегрирование ведется в направлении движения нейтронов. Чтобы начать интегрирование, можно использовать условие изотропности потока нейтронов в центре. Таким образом, предполагается, что
ф (0, (An) = Ф (0, —Hn), (5.26)
183
где для положительных (хп пр.авая часть известна из интегрирования, проводимого по направлению к центру. Тогда Ф(0, jxn) оказывается известным для начала интегрирования от центра наружу. В этом направлении величина Ф (/•*, |хп) известна, а Ф (гг+1, (Xn) неизвестна; следовательно, уравнение (5.25) заменяется уравнением
Ф^/+ 1/2, Pn) =
_ И-п(Лі +Лг+х)ф(/'г ^п)+(1/Шп)(ап+1/2+ап-1/2)ф(гН-1/2» ^n.-1 /2) + V^~ ^ g^
(Аі + Лi+l) + (1 /wn) (°п+1 /2 + °п — I /2) + OV
Таким способом можно найти Ф для всех |хп и всех пространственных точек Гі+ l/г- Используя эти значения, можно пересчитать q и повторять этот процесс до тех пор, пока не будет получена сходимость. Эти повторные расчеты являются внутренними итерациями, аналогичными тем, которые описывались в гл. 3 в связи с определением внутригруппового (или односкоростного) пространственного распределения потока, основанного на P1- или диффузионном приближениях. На практике можно ускорить сходимость, используя для этого специально разработанные методы [20].
Из-за сложной структуры конечно-разностных уравнений матрицы, используемые в итерациях, оказываются тоже весьма сложными. Поэтому используемые здесь расчетные методы не имеют такой математической наглядности и не развиты так же хорошо, как те, которые применяются в Рх-приближении или диффузионном приближении. Эмпирически были получены методы ускорения сходимости итерационного процесса, но формально они не были проанализированы. Одна из причин этого состоит в том, что, как отмечалось в разд. 5.2.6» когда Д велико, то решения уравнений могут не быть положительными для всех значений г і, |хп. Это означает, что свойство положительности оператора переноса (см. разд. 4.4.3) нарушается этим приближением, и анализ становится более сложным.
