Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.3.4. РАЗЛОЖЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Рассмотренные до сих пор плоская и сферическая геометрии являются уникальными в том смысле, что в них всегда имеется некоторое выделенное направление в пространстве, т. е. х или z, и поток нейтронов не зависит от вращений вокруг этого направления. Другими словами, распределение потока нейтронов обладает азимутальной симметрией. Таким образом, для этих двух геометрий угловая зависимость (Q) потока нейтронов может быть определена ТОЛЬКО ОДНОЙ переменной (А. В любой другой геометрии угловое распределение нейтронов не будет обладать азимутальной симметрией, и поэтому для представления угловой зависимости необходимо иметь дополнительную переменную. Примеры выбора переменных для различных геометрий даны в приложении к гл. 1. Однако всегда существует возможность разложить поток нейтронов в ряд по сферическим гармоникам.
113
Если единичный вектор й описывается двумя угловыми координатами, т. е. полярным углом 0 и азимутальным углом ф, то разложение потока нейтронов в односкоростном случае можно записать в виде
Ф(г, О)= У. 2 ф lm(r)Ylm(Q> ф).
г=о т=—1
где функции Yi,n — сферические гармоники (см. Приложение), которые выражаются через присоединенные функции Лежандра PT, зависящие от |л, и тригонометрические функции в виде
Ylm(Q> ф)=іХ~d~ і/Т^іі Л;ї(м-)ехр (ІШф).
У 4п (1 + т)\
Полезность сферических гармоник определяется следующими их свойствами:
а) они образуют полную систему функций в том смысле, что любая непрерывная функция, зависящая от 0 и ф, может быть разложена в ряд по сферическим гармоникам;
б) они являются ортогональными;
в) когда функция рассеяния Os раскладывается, как и прежде, в ряд по полиномам Лежандра, то свойство ортогональности сферических гармоник приводит к значительным упрощениям (см. разд. 3.3.5).
Когда поток нейтронов раскладывается в ряд по сферическим гармоникам, то получающиеся уравнения оказываются относительно сложными из-за наличия в уравнении переноса члена, описывающего утечку нейтронов (Q-УФ). Поэтому в данном обсуждении они не приводятся [111. Однако специальный случай цилиндрической геометрии рассмотрен в разд. 3.6.2.
3.3.5. Р,-ПРИБЛИЖЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Для настоящих целей достаточно рассмотреть только Рі-прибл'їженпе в произвольной геометрии. Его можно получить обычным образом, ограничивая число членов разложения в методе сферических гармоник, однако существует еще один способ его вывода, который может более наглядно представить физический смысл задачи.
Из уравнения (2.57) следует, что как в плоской, так и в сферической геометрии Pj-приближенне эквивалентно предположению, что
Ф(х, [а)=~[<?0(х)+ 3^^(*)], (3.42)
4я
где в сферической геометрии вместо X стоит г. Как показано в разд. 3.1.4,
ф о (.г) — полный поток нейтронов, а ф j (х) — ток нейтронов в направлении х.
Следовательно, в Pj-прпближении
Ф (*. И) = т~I Ф (*) + W Wl- (3-43)
4я
Эго соотношение нельзя применять в общем случае, так как J обычно представляет собой вектор, в то время как в уравнении (3.43) это скалярная величина, однако уравнение (3.43) может быть обобщено на случай произвольной геометрии. В частности, \i-J (х) = Й-J (х), так что уравнение (3.43) можно записать в виде
Ф(г, Й) = — [ф (г)+ 30-J (Г)]. (3.44)
4л,
Этот результат справедлив для плоской и сферической геометрий, и можно доказать, проводя разложение в ряд по сферическим гармоникам, что он представляет собой P1-Tiриближение для потока нейтронов независимо от геометрии.
114
Покажем теперь, что Pj-приближсние для потока Ф (3.44) согласуется с определениями ф и J. Для этой цели потребуются некоторые математические тождества, которые для удобства объединены в табл. 3.1. Система координат, используемая при выводе, приведена в приложении к данной главе.
Если уравнение (3.44) проинтегрировать по ft, то в результате получим:
$Ф(г, И)йИ = -^[ф (r)Jdfi+3J (г). Jfidfi] ,
(3.45)
Таблица 3.1 Математические тождества
J dQ = 4я; J QdQ = 0;
4я
J Q (Q-A) dQ =-----А;
г 4л
J (Q-A) (Q-B) dQ =--------A-B .
Примечание. А и В — любые He зависящие от Q векторы.
где ф (г) и J (г) вынесены из-под знака интеграла, поскольку они не зависят от Й. Левая часть этого уравнения представляет собой просто полный поток нейтронов ф (г), а значения интегралов в правой части получаются из табл. 3.1 Очевидно, что уравнение (3.45) приводится к тождеству, ф (г) == ф (г).
Умножая уравнение (3.45) на ft и интегрируя по ft, находим, что
JlM> (г, ft)dft = -?- [</> (г)J ft dft+3 {j (г)- J ft} ft dfi] . (3.46)
Левая часть уравнения (3.46), согласно определению, представляет собой J (г); используя второе и третье тождества табл. 3.1, находим, что первый член в правой части обращается в нуль, в то время как второй равен J (г). Следовательно, обе части уравнения равны J (г), что вновь доказывает согласованность уравнения (3.44). Таким образом, уравнение (3.44) будет принято для представления потока нейтронов в Р^приближении в произвольной геометрии. Для удобства повторим еще раз односкоростное уравнение переноса в стационарной форме [см. уравнение ^3.2)]:
