Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
В плоской (одномерной) геометрии система точек xk, где k = 0, 1, ... К, выбирается таким образом, чтобы границы всей области находились в точках .Y0 и хк и чтобы на каждой поверхности раздела между двумя областями существовала счетная точка (рис. 3.2). Расстояние между соседними точками должно быть достаточно мало по сравнению со средней длиной свободного пробега; для типичной одномерной задачи К может быть примерно 50.
* Для Р^-приближения четного порядка приведенные выше условия непрерывности не являются самосогласованными и должны быть модифицированы |2]; однако они справедливы для приближений нечетного порядка, которые чаще всего и используются в реакторных расчетах.
105
Рассмотрим сетку в окрестности точки xk, (см. рис. 3.3). Можно вывести конечно-разностные уравнения, которые аппроксимируют уравнения (3.7)
Область I
—©-----1'
Xj X2 X
I Ооласть Л Оіїлясть Ж
Г “v S j'W aS 'ff
Рис. 3.2. Узлы пространственной сетки в одномерной геометрии.
и (3.8), проводя интегрирование по области х, показанной на этом рисунке. Если уравнение (3.7) интегрируется от хк.цо до хк+1/2, где
Xk- 1/2 = — (*fe-i + Xk)', Xk+ 1/2 =~(Xk + ?+!.), то можно получить
xIt + 1/2 хк + 1/2
Jk+1/2 — Jk-1/2+ Jj o0(x)(p(x)dx= 5 Qo(X) dx, (3.13)
xk—\/2 xk—\/2
где Jk+l/2 — значение J при x = xk+l/2 и т. д. Так как O0 постоянно между любыми двумя счетными точками, то интегралы можно приближенно представить в следующем виде:
- . . Лк-и/г__j
**+1/2
°о (*) Ф (*) dx «
хк— 1/2 Д
I
I I
Ai.
I I
О ,к+ 1/2 ^ft + I /2 +0O,ft- 1 /2 Дй— 1 /2 А _
---------------------------------------- ^k=
— bok Ф k> (3.14)
Qok — (3.15)
*к-у
хк+і
5 Q0 (*)dx
Рис. 3.3. Пространственная сетка *—I/2 в окрестности счетной точки Xh.
^ хк+ ! /2
X Г ґ\ / ..\ -г.. . . aft + 1 /2 ~г к — 1 /2
— A^ Qokt
и затем из уравнения (3.13)
«/ft+1/2 Jk- 1 /2 "Ь Ф к = Afe Qok> (3.16)
где Фи И Q0;.—значения ф и Q0 при x = xk.
Подобным образом уравнение (3.8) можно проинтегрировать по интервалу xk ^ х ^ xk+l или xk-i < х < Xk и получить уравнения, связывающие Jk+1/i
и <//,-1/2 с </>h_i, фк и фи+1. Используя то же приближение для интеграла,
что и раньше, находим, что
ф ь+1— ф,ч -г За* + 1/2 А*+ 1/2 Л +1/2 = Aft+1/2 Qi ,*+1/2; (3.17)
ф к — Ф Ii-1 + 3Ok- I /2 Aft— 1/2 Jk— 1/2 = Aft— 1/2 Qi ,к— 1/2- (3-18)
3.2.2. ОШИБКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
При выводе уравнений (3.16) — (3.18) интегралы в (3.14) и (3.15) аппроксимировались простым образом. Можно было бы использовать более точные приближения для них, ко тогда получающиеся конечно-раз-
106
ностные уравнения были бы сложнее, чем уравнение (3.16). Опыт показывает, что в реакторных расчетах такие усложнения не оправдывают усилий, необходимых для их изучения [3]. Тем не менее интересно рассмотреть величину ошибки, появляющейся при используемой выше аппроксимации интегралов.
Предположим для простоты, что точка Xk не лежит на поверхности, так что
O0 (х) постоянно в интеграле уравнения (3.14). Следовательно, аппроксимация интеграла в этом уравнении эквивалентна представлению его в следующем виде:
Если предположить, что функция ф {х) непрерывна и дифференцируема столько раз, сколько требуется, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Таким образом,
где штрихи означают производные по х. Если это выражение для ф (я) подставить в интеграл, то получим
Следовательно, если в уравнении (3.19) ограничиться первым членом, получим уравнение (3.14).
Связанную с таким ограничением числа членов погрешность можно оценить на основании величины первого отбрасываемого члена в уравнении (3.19). Вообще говоря, для неравномерной пространственной сетки этот член равен второму члену в правой части уравнения. Однако для равномерной сетки Д*+1/2 = ДЬ_1/2 = Л и коэффициент перед ф' (хк) равен нулю. Первым отбрасываемым отличным от нуля членом в этом случае будет третий член в уравнении
(3.19), и онравен [(1/4)Д3/3!] ф" (х^). В любом случае очевидно, что отбрасываемый член можно сделать малым по сравнению с Akфи, используя достаточно мелкую пространственную сетку, т. е. малые значения ДЛ. Однако сетка может быть и сравнительно крупной в тех случаях, когда поток нейтронов меняется не очень быстро, так как тогда ф' и ф" малы по сравнению с ф . Более подробное обсуждение ошибок приближения и их влияния на точность реакторных расчетов можно найти в работе [4].
На практике эффекты, связанные с отбрасыванием членов разложения, можно исследовать, меняя, например, уменьшая вдвое, шаг пространственной сетки в представляющей интерес задаче и определяя изменение при этом потока нейтронов или других рассчитываемых величин. С помощью такого метода было установлено, что, как правило, разумным является такой выбор пространственной сетки, когда одна счетная точка приходится на среднюю длину свободного пробега нейтрона. Когда поток нейтронов имеет резкую пространственную зависимость, иногда может оказаться необходимой более мелкая сетка, а в тех случаях, когда поток меняется слабо, достаточной будет и более крупная сетка.
