Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Другое сделанное выше предположение состоит в том, что ядро рассеяння ограничено. Ранее было показано, что при упругом рассеянии ядро рассеяния обычно включает 6-функцию Дирака [см. уравнение (1.7)] и, следовательно, не ограничено. Если принять во внимание тепловое движение ядер (см. гл. 7), такое ядро рассеяния перестает быть правильным. Когда молекулы входят в состав газа или жидкости, они имеют непрерывный спектр возможных скоростей, и ядро рассеяния не будет иметь никаких особенностей. Поэтому ядро рассеяния иногда ограничено, а иногда нет. Хотя детали спектра собственных значений зависят от наличия особенностей ядра рассеяния [28], тем не менее оказывается, что концепция критичности, основыаающаяся на знаке а0, может быть признана универсальной.
Спектр оператора переноса и условия критичности детально обсуждались в этом разделе, так как уравнение переноса является основой анализа поведения нейтронов в реакторе, и критичность, конечно, существенна при определении размеров реактора. При решении прикладных задач следует использовать некоторые приближения уравнения переноса, а затем рассмотреть собственное значение приближенного уравнения. В некоторых случаях, особенно в многогрупповом диффузионном приближении, о собственных значениях и собственных функциях можно сказать гораздо больше (см. гл. 4).
Вследствие линейности однородного (без источников) уравнения переноса (см. разд. 1.1.6) оказывается, что если существует много решений задачи на собственное значение, то любое решение уравнения может быть разложено в
36
ряд по собственным функциям Ni (или Ф;), соответствующим собственным значениям Otl-. Хотя не была доказана полнота системы собственных функций, такое разложение используется в некоторых приближениях уравнения переноса, например в одногрупповом (см. гл. 2) и в многогрупповом (см. гл. 4).
1.5.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Имеет смысл рассмотреть условия, при которых может существовать решение стационарного уравнения переноса, и единственно ли оно, если существует. Однородное (без источников) уравнение переноса (1.42) будет иметь не зависящее от времени решение, определяемое уравнением (1.47), когда LArtto = 0 с а0 = 0 для критической системы. Если, как далее предполагается, основное распределение или критическая собственная функция Arttip единственны с точностью до постоянного множителя, то стационарное решение единственно.
Для большей общности рассмотрим неоднородное уравнение переноса с источником, а именно dN/dt = LAr + Q. Следует определить условия, при которых будет существовать решение для dN/dt = 0 и LAr + Q = O, и устанавливается ли это решение при некотором начальном распределении N. При этом считается, что L и Q не зависят от времени.
Для надкритической системы не существует физического решения, для которого dN/dt = 0. Всякое распределение спустя время t увеличится в ехр (a0t) раз при а0 > 0. Для под критической системы распределение для больших времен будет независимым от начальных условий, так как влияние этих условий будет спадать со временем как ехр (а0/) при а0 < 0. Следует ожидать, что для любого заданного источника Q не зависящее от времени решение будет получено при больших временах. Хотя такое предположение разумно, его правильность строго доказана только для некоторых специальных случаев [29]! и для неразмножающих сред. Тем не менее в настоящей книге предполагается,, частично на основе физических соображений, что единственные не зависящие от времени решения существуют для критической системы без источников или для подкритической системы с постоянным источником, независимо от того, является подкритическая система размножающей или нет.
1.5.5. ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ РАЗМНОЖЕНИЯ k
Часто наилучшим подходом к проблеме критичности является введение вспомогательного собственного значения. В частности,
V (г; E' -> Е) может быть заменено v (г; E'-*-E)/k, причем k подбирается таким образом, чтобы обеспечить условие критичности Ct0= 0 при &=&эфф, где kgфф — эффективный коэффициент размножения. Таким образом, число нейтронов, испускаемых при одном делении, меняется в 1/&Эфф раз. В дальнейшем индекс. У ^эфф опускается, и под k понимается собственное значение.
На основании физического толкования критичности (см. разд. 1.5.1) можно высказать предположение, что любая система, содержащая делящееся вещество, может быть сделана критической путем соответствующего изменения числа нейтронов, испускаемых при делении. Поэтому будем считать, что для любой такой системы всегда существует единственное положительное собственное значение k > 0. По определению, k есть собственное значение уравнения
UG-VAffe += CC 2 OxfxV N'kdQ' dE' +
+ — ff— V(г; E'-+E)Of V' N'kdQ'dE', (1.49)
k J J 4л
37
где, как и в разд. 1.1.2, х Ф f относятся к таким столкновениям (за исключением деления), в результате которых образуются нейтроны, а
Nh ее Nh (г, й, ?);
Ni = Nh (г, й', Е’)
— собственные функции, не зависящие от времени.
Существование собственного значения k предполагалось выше на основе физических соображений. Точнотакже предполагается существование соответствующей ему неотрицательной собственной функции. Для некоторых простых задач был детально исследован спектр собственных значений k. Например, было доказано [30], что в односкоростном приближении (см. гл. 2) с изотропным рассеянием для среды или пластины существует бесконечное число дискретных действительных собственных значений k и что, в частности, наименьшее из них является эффективным коэффициентом размножения. В многогрупповом приближении также может быть получена обширная информация о собственных значениях k и собственных функциях (см. гл. 4).
