Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Q.VN(r,v) = vd-f + 1-^-^-. (1.32)
dr r dja.
Белее общие выражения для й • VN (или (й • V(D) и для j dQ в случае прямоугольной, сферической и цилиндрической геометрий приведены в
разд. 1.7.1. Необходимо отметить, что выражения, включающие N и Ф, имеют одинаковую зависимость от всех переменных.
1.3.2. ДИВЕРГЕНТНАЯ ФОРМА ДЛЯ КРИВОЛИНЕИНЫХ ГЕОМЕТРИЙ
Выше отмечалось, что уравнение переноса есть не что иное, как формулировка закона сохранения числа нейтронов в элементе объема фазового пространства dQdVdE. Результат интегрирования по всем направлениям и конечному объему представляет собой соотношение, описывающее со-
26
хранение нейтронов в этом объеме. Для интегрирования в криволинейных геометриях удобно представить й • VN в виде, облегчающем интегрирование. Этот вид принято называть дивергентной формой.
Рассмотрим простой случай системы со сферической симметрией. Интеграл от Q-VNdVdQ по конечному объему и всем направлениям может быть получен при замене dV на 4nr2dr и интегрировании по г от гг до г2 (рис. 1.10), замене dQ на 2яф, и интегрировании по ц от—1 до 1. Последнее не вызывает сомнений, так как распределение нейтронов в сферической геометрии азимутально симметрично, как и в плоской геометрии (см. разд. 1.3.1).Таким образом, рассматриваемый интеграл может быть записан следующим образом:
^Q-VNdVdQ =
гг I
4лг2 dr J 2л (Q-VN) d\idr,(\.33)
г, — 1
— —С г2 [V-J (г)] dr= — [r\ J{rz)—r\J{ri)\.
V J V
(1.34)
Здесь использовано определение тока нейтронов [см. уравнение (1.6)]. Этот результат можно, конечно, получить, подставив правую часть выражения (1.32) под знак интеграла в (1.33) и выполнив интегрирование. Найденные таким образом оба слагаемых можно объединить так, чтобы получить (1.34), но каждое из них в отдельности не имеет физического смысла. Удобнее выразить правую часть уравнения (1.32) в другой форме:
dN 1 —H2 а/У ц д (г2 AQ , 1 а[(1 —|Д-2) A^]
дг г ф л2 dr 'r dfx
После подстановки правой части (1.35) в выражение (1.33) и интегрирования первого слагаемого получаем выражение, совпадающее с (1.34), а второе слагаемое после интегрирования обращается в нуль. Тогда
г2 а 2 Г 2л д (г2 N) , , 4я г2 д [гг J (л)] , 4я , 2 , , , ¦> г / м
\ 4л/-2 \ — 1-і \ dyidr = — \ - - -- dr = — [r2J(r2)—nJ(rJ].
J J г2 dr v J dr v
г 1-І rt
что представляет собой результирующую скорость, с которой нейтроны покидают рассматриваемый объем, деленную на скорость нейтрона v, и
4л,-S J — aKl-H-2)^] diidr = ^ 8п2 г2 dr 1(1—Ii2) N] l_t ^o.
г, —Iі г,
Таким образом, оба слагаемых в правой части уравнения (1.35) приобретают физический смысл при интегрировании по конечному объему и всем направлениям; с их помощью й • VN выражается в дивергентной форме для сферической геометрии.
Вообще говоря, если й • VN представлено в дивергентной форме, коэффициенты при каждой производной после умножения на элемент объема не включают переменной, по которой берется производная. После интегрирования по всем направлениям и по объему, ограниченному поверхностями, на которых одна из пространственных переменных постоянна, получаемые слагаемые легко могут быть интерпретированы как токи через такие поверхности (см.
Рис. 1.10 К вычислению члена утечки в дивергентной форме (сферическая геометрия).
27
разд. 1.7.1). Это свойство дивергентных форм делает их полезными при выводе разностных приближений уравнения переноса (см. гл. 5) или при ралмотре-нии граничных условий. Выражения для й • УФ, которые применимы также для й • VAir, в дивергентной форме для сферической и цилиндрической геометрий приведены в приложении к настоящей главе (см. разд. 1.7.1).
1.3.3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В разд. 1.2.3 было показано, что если источники и рассеяние изотропны и сечение в пределах рассматриваемой области не зависит от координат, то уравнение переноса принимает особенно простую форму (1.30). В стационарном случае
ф (г,?) = | exp^f**' Qfi',E)dV\ (1.36)
где R = |г—г'|;
<7 (г\E) = Jа (?'->?) ф {r',E)dE' + Q(r',?).
Далее, если рассматриваемая область обладает несложной геометрией, про-
странственный интеграл может быть ^ упрощен.
Рис. 1.11. К выводу интегрального уравнения переноса в плоской геометрии.
Рис. 1.12. К выводу интегрального уравнения переноса в сферической геометрии.
В плоской геометрии, когда q зависит только от х и E1 элемент объема (рис. 1.11) есть
dV' = 2 nr'dx'dr'.
Далее,
Ri= |*_xf + (л')2,
так что если х — х' константа, то
RdR = r'dr'.
Уравнение (1.36) принимает теперь форму
ф (x,E)=-L[dx\ <,(*',?) «EI=?JS*1. dR =
2 J Ji x—x' I R
= j* Cf {x', E) E1Io(E)IX-X' I ]dx',
(1.37)
28
где E1 — показательная интегральная функция первого порядка (см. Приложение).
Для бесконечной пластины толщиной 2а
а
ф (х, В) = J q (х', Е).Е1 [a (E) | х — x'\]dx'. (1.38}
— а
Аналогично для сферической геометрии (рис. 1.12), когда q является функцией г и Е,
dV' = 2п (r'fdr'd (cos Є);
= г2 + (r'f — 2rr' cos0, так что для фиксированных г и г'
