Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать простую классическую интерпретацию функции у (t) —у (0) с помощью обращения решения задачи для диффундирующего атома. Можно показать, что фурье-преобразование функции %неког (х> 0 Дает корреляционную функцию Gs (г, t). Таким образом, с помощью теоремы обращения Фурье [49], примененной к уравнению (7.46), получаем
Ge(г, 0 = 0/8л3)§ехр[— і (хт)] Х„еког(*. t)dx. (7.71)
Если в это выражение подставить значение л/неког (х> 0» определенное уравне-
нием (7.70), то, используя выражение
— a2 = y(t)~y(0)ti, (7.72)
cIAm
можно найти, что
о,(г. D= exPf-rlIfK (7.73)
(4яа2)3/2
277
Следует отметить, что функция Gs нормирована как вероятность, т. е.
S Gs (г, t)dr= 1, и что среднее значение л2 определяется выражением
г- = ^r2 Gs (г, t) dr = 6а2.
Таким образом, ожидаемое значение среднего квадрата перемещения атома в течение времени t, т. е. г'2, пропорционально а2 и, следовательно, у (t) —у (0).
Приведенные выше результаты основаны на классической интерпретации функции Gs (г, /), поэтому ее следует применять только к классическим видам функции у (/), которые можно найти из выведенных ранее выражений, рассматривая их предельные значения при % 0.
Например, в случае одноатомного газа уравнение (7.52) вместе с уравнениями (7.70) и (7.72) дает в предельном случае
кТ
а2 = ^~ t2 (одноатомный газ).
Аналогично для других моделей рассеяния:
OO
а2 = — Г -Цр (I — cos со/) dco (кубически й Ат J 0)2 монокристалл);
о КТ I —COS COo t .
а —----------:---(гармоническии осцил-
Аш соо лятор или модель кри-
сталла Эйнштейна);
O2 = Dvt (модель диффундирующего атома).
На рис. 7.9 приводятся значения сг, т. е. одной шестой среднего квадрата перемещения, в зависимости от времени [50]. Предполагается, что спектр колебательных частот кристалла имеет дебаевский вид / (со) = Зсо2/сомакс [511. Поведение величины а2 для атома в жидкости обозначается пунктиром. При небольших временах эта кривая имеет такой же вид, как и в случае одноатомного газа (или монокристалла), а при больших — параллельна кривой для модели диффундирующего атома.
7.4.7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЗАКОНОВ РАССЕЯНИЯ
Как отмечалось в разд. 7.1.1, сечения рассеяния в тепловой области — сложные функции энергии нейтронов. Поэтому измерения этих сечений по всему интервалу энергий нейтронов и углов рассеяния на практике очень редки. Однако такие сечения, полученные экспериментально, оказываются очень полезными по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, их можно сравнивать со значениями, предсказываемыми на основе различных теоретических моделей, тем самым подтверждая справедливость этих моделей или указывая на их недостатки. Во-вторых, экспериментальные сечения можно использовать для определения некоторых параметров или функций вполуэмпири-ческом выражении для сечений рассеяния. После того как эти параметры определены, с помощью такого выражения можно рассчитывать сечения для других энергий и углов рассеяния.
Для иллюстрации последнего предположим, что измерено сечение неупругого рассеяния и что желательно подогнать его к виду уравнения (7.66), которое
Зремя; 10 »ек
P и с. 7.9. Зависимость а2 от времени
для различных моделей рассеяния:
1 — газ; 2 — диффундирующий атом; 3 — жидкость; 4 — кристалл; 5 — гармонический осциллятор.
278
применяется к монокристаллу с кубической структурой. Таким способом можно найти функцию / (со). Прежде всего, из экспериментальных сечений с помощью уравнения (7.38), использующего некогерентное приближение, выводится функция Ss (х, є). Кроме того, в соответствии с уравнениями (7.38) и (7.66)
X ехр
[Ах2 |2Am J
Ss (х, g) = -i- J ехр (— iet/fi) X
— OO
J f (со) ехр ( — Асо/2кТ)
2co sh (%(Л/2кТ)
[ехр (— ico^)— 1] dco
dt.
(7.74)
Для небольших значений х2, т. е. небольших передач импульса, экспоненту в квадратных скобках уравнения (7.74) можно разложить в ряд. Используя представление б-функции [уравнение (7.57)], находим, что если є= — ^co, то можно получить уравнение
Ss (*, е) I _ А ехр ( — Асо/2кТ) г / \
2Am 2со sh (Асо/2кТ)
Iimf х-о L
(7.75)
которое можно решить относительно / (со), если известна функция Ss (х, є) для небольших х. Таким образом, экстраполируя результаты, полученные из измеренных сечений рассеяния, на малые значения передачи импульса, можно вывести эмпирическую функцию распределения частот / (со) для использования ее в законе рассеяния. После того как функция f (со) найдена, можно рассчитать величину os fs для всех энергий нейтронов из уравнения (7.66). На практике для экстраполяции используется обычно не Ss (х, є), a Ss (а, (^,определенная уравнением (7.44) [52]. В этом случае функция распределения частот дается в зависимости от переменной |3 (|3 = Aco/кТ) выражением
m = Р)].
Необходимо отметить, что при определении полуэмпирических законов рассеяния указанным выше способом возникает ряд трудностей. Во-первых, может потребоваться внести существенные поправки в экспериментальные данные для учета многократного рассеяния [53], а также упругого и когерентного рассеяния. Во-вторых, необходимо, чтобы закон рассеяния был разумен с физической точки зрения и достаточно прост, чтобы его можно было определить из экспериментальных данных. В следующем разделе упомянуты некоторые полуэмпирические методы расчета законов рассеяния.
