Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
В кристаллической решетке гидрида циркония каждый атом водорода находится в центре тетраэдра, образованного четырьмя атомами циркония. Из-за большого отношения масс AztIAu 91 и симметричного окружения протонов атомами циркония химическая связь очень хорошо аппроксимируется, если рассматривать протоны гармонически связанными, как в модели твердого тела Эйнштейна, с величиной = 0,137 эв. Микроскопические сечения рассеяния водорода в гидриде циркония, полученные вычитанием значений
P и с. 7.7. Расчетное отношение сечений рассеяния связанных и свободных атомов водорода в зависимости от энергии падающего нейтрона ?7&о)о [34].
273
сечения циркония из экспериментальных результатов для гидрида циркония, представлены на рис. 7.8 в зависимости от энергии нейтрона [37J. Наблюдается поразительное сходство данных рис. 7.8 с результатами, приведенными на рис. 7.7. Скругление кривой на рис. 7.8 при энергиях нейтрона Aco0, 2Асо0 и т. д. объясняется тепловым движением связанных атомов.
Различие между моделью изотропного гармонического осциллятора и реальным кристаллическим телом возникает, возможно, из-за того, что нейтрон, име-
Рпс. 7.8. Измеренное и рассчитанное (методом гармонического осциллятора) сечение рассеяния водорода в ZrHx [37].
ющпй энергию ниже Aw0, может потерять энергию даже при низких температурах. Причина в том, что в кристалле нейтрон может возбудить другие колебательные гармоники, а именно так называемые акустические гармоники, с энергиями, лежащими ниже энергии осциллятора Эйнштейна Aco0 [38].
7.4.4. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ РЕАЛЬНЫМИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИМИ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ:
КРИСТАЛЛЫ С КУБИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
В теории твердого тела [39] хорошо известно, что модель кристалла Эйнштейна представляет собой лишь грубое приближение к фононному спектру, т. е. спектру колебательных частот реального одноатомного кристалла. Для модели Эйнштейна требуется, чтобы колебательные частоты были кратны со0, однако в реальных случаях это не имеет места. Для рассеяния на простом кристалле с кубической структурой можно предложить закон рассеяния, ненамного более сложный, чем для кристаллического тела Эйнштейна, который широко используется при изучении неупругого рассеяния в кристаллических замедлителях.
При выводе этого закона рассеяния принимаются следующие предположения: 1) используется некогерентное приближение (см. разд. 7.3.5), эффектами интерференции рассеивающих атомов пренебрегают; 2) предполагается, что в твердом теле присутствуют атомы только одного типа; они связаны гармоническими межатомными силами в кристалле с кубической симметрией, имеющей один атом на элементарную ячейку в кристаллической решетке; 3) возможные
274
колебательные состояния (или кванты) описываются непрерывным спектром /(со), нормированным таким образом, что
$/(©)Ло = I, о
где f (со) d(d — вероятность того, что в решетке будут иметь место колебания с частотой между со и со + rfco. На практике существует верхний предел сомакс в спектре частот, и это учитывается тем, что f (со) полагается равной нулю для всех со > соМаКс. При этих условиях промежуточную функцию рассеяния можно записать в виде [40]
Хнеког(х» ^ = exp{^~tv(0—Y(0)]} » (7-63)
где
У ^ = S (0^1 (^"r)cos 1 s*n (^-64)
Функция Y (0) получается из уравнения (7.64), в котором полагается t = 0:
v<0) = Scth(^);J^
Если распространить функцию f (со) на отрицательные значения частот, определяя ее в виде f (—со) = / (со), то можно показать, что
VM-VM= J <7'65)
-OO
Комбинируя уравнения (7.47)—(7.49) с уравнениями (7.63) и (7.65), получаем дважды дифференциальное сечение рассеяния в следующем виде:
_ 00
°s(E')fs(Q'> ?) = ^| j/f;j ехр(—іet/А) X
X ехр
4*1 с f ft,)) ехр i-U&T) [ех (_ і , da
2Am .1 2со sh (hat/2кТ)
dt. (7.66)
Это выражение широко использовалось для получения сечений неупругого рассеяния при изучении задач термализации, и на его основе были развиты соответствующие программы расчета для ЭВМ [41]. В этих программах функция f(со) вместе с температурой и массовым числом А рассеивающего материала определяют задачу.
Относительно уравнения (7.66) можно сделать некоторые замечания. Если допускается только одна колебательная гармоника, то это выражение приводится к уравнению (7.54) для гармонического осциллятора (или кристаллического тела Эйнштейна). Для подтверждения этого необходимо сделать допущение о включении и отрицательных, и положительных частот в уравнение (7.66). Функция f (со) для единственной колебательной гармоники должна в этом случае представляться соотношением f (со) = б (со — CO0) + б (со + со0), которое допускает наличие частот со0 и —со0.
Можно провести фононное разложение сечения, как в разд. 7.4.3, раскладывая экспоненту в степенной ряд, т. е.
ехр fci V(Z)I= І-f— Y«l"
[2Am Y wJ п! [2Am r v 'J
n= о
275
Можно показать, что /i-й член в этом выражении соответствует возбуждению или поглощению п фононов. На практике, если функция f (со) известна, первые несколько членов разложения можно оценить численно, однако члены более высокого порядка настолько сложны, что их обычно аппроксимируют приближенными выражениями.
