Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Наилучшие грузоподъемные машины
Основываясь на понятии обратимой машины и принципе невозможности вечного движения, можно установить две общие теоремы, относящиеся к любым грузоподъемным машинам, независимо от того, как эти машины устроены.
Теорема 1. Пусть обратимая машина О, опуская груз Р с высоты Яр, поднимает груз Q на высоту Hq. Пусть другая не обязательно обратимая машина М, опуская тот же груз Р с той же высоты Нр поднимает груз Q на высоту H'q. Докажем, что H'q<Hq.
Для доказательства допустим противоположное, т.е. что H’q>Hq. Включим машину М на опускание груза Р. Груз Q при этом поднимется на высоту H'q>Hq. Опустим его на каком-то устройстве с высоты H'q на высоту Hq, совершив за счет этого подъем грузика Др на высоту h. Включим затем обратимую машину О так, чтобы она опускала груз Q и поднимала Р. В итоге грузы Р и Q вернутся в исходное состояние, т.е. машины совершили цикл, а грузик Др оказался поднятым вверх. Осуществилось вечное движение. Невозможность его доказывает теорему.
Таким образом, обратимая машина за счет опускания определенного груза с заданной высоты поднимает заданный груз на максимальную высоту.
58
ГЛАВА V
Теорема 2. Любые две обратимые машины О и O', работающие на опускании одно и того же груза Р с высоты Нр, поднимают груз Q на одну и ту же высоту.
Пусть машина О' поднимает груз Q на высоту H’q. В силу предыдущей теоремы H'q<Hq. Предположим, что H'q<Hq. Тогда, включив машину О на опускание Р, поднимем Q на высоту Hq>H'q. Опустив Q с высоты Hq на высоту H'q, поднимем грузик Др вверх, а затем при помощи обратимой машины О’ (здесь обратимость второй машины существенна) вернем грузы в исходное состояние. Как и в предыдущей теореме, предположение, что H'q<Hq. приводит к противоречию с принципом невозможности вечного движения, и приходится принять, что обе машины смогут поднять груз Q на одинаковую высоту независимо от того, как устроена каждая из машин.
Это очень важный результат. Он позволяет проводить рассмотрение работы грузоподъемных машин на примере одной конкретной машины, конструкция которой достаточно проста и удобна для количественных расчетов, а результаты рассмотрения затем распространять на все мыслимые машины. При этом не имеет значения, изготовлена ли эта машина из металла и пластмассы или из чистого золота и даже изготовлена она вовсе или построена только в нашем воображении. Единственное, что требуется,
- это твердая гарантия обратимости работы такой машины. Эту уникальную возможность распространения частного вывода для одной даже воображаемой обратимой машины на абсолютно все случаи жизни дает принцип невозможности вечного движения, провозглашенный самым общим законом природы и доказанные на его основе две теоремы о грузоподъемных машинах.
После изложенного очевидно, что если для рычага выполняется соотношение (2), то оно справедливо абсолютно для всех механизмов, в которых подъем одного груза в поле тяжести осуществляется за счет опускания другого. Однородность поля тяжести вблизи поверхности Земли позволяет переписать дифференциальное соотношение (2) и для конечных перемещений любых грузов по вертикали
Потенциальная энергия
Назовем произведение веса тела р, на высоту его над поверхностью Земли Л. потенциальной энергией Ui t-того тела в поле тяготения вблизи поверхности Земли, а сумму IU, = IpJi, - потенциальной энергией системы тел вблизи Земли. Обозначим вес опускаемого груза pi, его начальное положение ую, конечное положение yi, а вес поднимаемого груза pi, его начальное положение узо и конечное положением, нетрудно установить, что Hq- у, - уя ,НР = у,- у:о и переписать соотношение (3) в виде
PHp+QHq= 0.
(3)
или
Р\У\ * Р2У2 = ВДо + Р2У20-
(4)
59
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Полученное соотношение показывает, что потенциальная энергия тел при работе идеальных грузоподъемных машин сохраняется:
U = U0 (5)
независимо от того, каковы грузы, каковы их перемещения и как устроены машины. Сохранение потенциальной энергии при работе грузоподъемных машин является законом природы.
Нетрудно видеть, что потенциальная энергия взаимодействующих тел определяется взаимным расположением этих тел, а изменение ее равно произведению силы на перемещение в направлении, противоположном действию силы, т.е.
Д [/ = -/>. (6)
Это определение позволяет записать потенциальную энергию тел, сила взаимодействия которых зависит от расстояния между телами, в виде
? (7)
U = U,-\f3ds, о
где интеграл берется по пути тела из точки О в точку S,a.Uo- значение потенциальной энергии в начальной точке О траектории. Перемещение в направлении действия силы считается положительным.
Равновесие
Закон сохранения энергии может быть применен для изучения равновесия тел в поле тяжести. Равновесие грузов можно рассматривать как одно из состояний некоторой обратимой машины. При перемещении грузов из состояния равновесия можно записать закон сохранения энергии и получить тем самым уравнение, связывающее веса грузов.
Рассмотрим пару примеров. Пусть на наклонной плоскости находится груз р, удерживаемый в покое грузом q, привязанным к веревке, перекинутой через блок (рис.З). Каков должен быть этот груз q?
