Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно записать, что мощность
N = fxv = (fv) (22)
и работа перемещения тела по бесконечно малому пути
ДА = Д. As = (?&s) . (23)
Нетрудно видеть, что работа при произвольном движении тела будет
А = J (fds), (24)
s
где интеграл берется вдоль пути перемещения тела. Заметим, что сила, перпендикулярная пути, работы не производит.
Консервативные силы и потенциальная энергия
Работа силы, вообще говоря, зависит от пути . Это понятно всякому, кто захочет один раз протащить санки от своей школы до дому по кратчайшему пути, а другой раз проделать то же самое, заехав по дороге на противоположный конец города.
Однако есть силы, работа которых не зависит от пути, а определяется лишь положением начальной и конечной точек пути. Силы такого сорта называют консервативными. Признаком консервативных сил является то, что работа этих сил по замкнутому пути равна нулю. Действительно, пусть работа перемещения тела из точки А по замкнутому пути равна нулю. Это
значит, что работа перемещения тела из точки А в какую-то точку В на пути I (рис 6) равна с обратным знаком работе перемещения того же тела из В в А по пути II. Так как прохождение одного и того же пути в противоположном направлении сводится к изменению знака перемещения, то Ав>л=- Ал>в, из чего следует, что работа перемещения тела из точки А в точку В одинакова для верхнего и Рис 6 Работа консервативных нижнего путей, т.е. силы, работа которых по сил на замкнутом пути равна замкнутому пути нуль, оказываются консер-нулю вативными.
63
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Примером консервативных сил является сила тяжести. Действительно при подъеме вверх вдоль наклонной плоскости (рис.7) сила тяжести совершает работу A--plcosa=-ph. При опускании вниз Ah=ph, и при перемещении по горизонтали Ao=pbcos90°=0. Таким образом, работа силы тяжести по замкнутому пути A-Ai+Ah+Ao =0, и сила тяжести консерва-
Консервативные силы, их величина и направление не зависят от скорости движения тела, т.к. в противном случае мы могли бы разные участки замкнутого пути проходить с разной скоростью и получать в результате не нуль для работы по замкнутому пути. Неконсервативной является сила трения: стоит изменить направление скорости, как она изменит свое направление, и работа по замкнутому пути при наличии трения всегда ненулевая.
Определим для консервативных сил величину U, изменение которой А?/=-ДА. Тогда изменение кинетической энергии (15) записывается в виде
АТ = ДА = -AU ,
или
A(T + U) = Q, (25)
т.е. при движении тела сохраняется сумма T+U. Определенная таким образом величина U получила название потенциальной энергии тела. В поле тяжести вблизи поверхности Земли работа силы тяжести по подъему тела весом р на высоту h равна -ph и U-ph-mgh в соответствии с данным определением потенциальной энергии.
Вычисление работы и потенциальной энергии просто, если сила постоянна. Если же сила меняется в пространстве от точки к точке, то надо вычислить работу ДА, = fjASj на малом отрезке пути As;, где сила изменяется мало и суммировать все эти работы Z,fjASj, а затем переходить к пределу при i-xxi. Графически задача сводится к нахождению площади под графиком зависимости силы от положения тела. Так, при сжатии или растяжении пружины f=-kx где х -смещение из положения равновесия. Работа упругой силы на пути х равна площади треугольника с катетами -kx и х , т.е. A=-kx2l2, а потенциальная энергия сжатой пружины U=kx2l2.
В поле тяжести Земли сила притяжения любого тела к Земле пропорциональна массе этого тела тп, массе Земли М, и обратно пропорциональна квадрату расстояния тела от центра Земли г, т.е.
f = G—t~.
Г~
График этой силы в зависимости от расстояния показан на рис.8. По вертикальной оси изображено отношение гравитационной силы к ее величине fi на единичном расстоянии, по горизонтальной - расстояние, измеренное в выбранных единицах длины. Положим потенциальную энергию тела на бесконечности равной нулю. Работа силы тяжести по перемещению тела из бесконечности в какую-то точку г вычисляется путем нахождения пло-
Рис.7. Консервативность силы тяжести
64
ГЛАВА V
щади заштрихованной на рис.8 фигуры и оказывается A=GM3m/r, а потенциальная энергия тела в поле тяжести
(25)
Рассмотрим, с какой скоростью vo надо толкнуть тело на поверхности Земли, чтобы оно смогло улететь от Земли неограниченно далеко. Запишем закон сохранения энергии для начальной точки траектории тела и для бесконечно удаленной точки:
„ „г- _ Мтт mvi „
Рис.8. Гравитационная сила. . ¦ _ Q —-— =-----— (26^
2 г 2 v ’
Положим vx = 0, т.е. будем искать минимальную скорость vo, достаточную
для того, чтобы тело покинуло Землю навсегда (эта скорость называется
второй космической). Из (26) вторая космическая скорость
II
2 GM
(27)
R3
Для подсчета второй космической скорости воспользуемся уравнением, связывающим ускорение свободного падения g с гравитационной постоянной, массой и радиусом Земли (IV.21), откуда GM3
gR-i
В*
v0=fiЩ. (28>
Подставляя Д3 = 6400 км и g - 9.8 м/с1, получаем vo=11.2 км/с.
В электрическом поле точечных зарядов qi и дг сила взаимодействия зависит от расстояния так же, как и в поле тяжести. Поэтому потенциальная энергия двух зарядов
