Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
симметрии, перпендикулярной плоскости диска.
120
Глава 2
2.43. Найти напряженность Е электрического поля двойного электрического
слоя мощностью г = const, занимающего полуплоскость у = 0, х > 0.
Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего
вдоль оси Oz. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием
напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив
сначала электростатический потенциал ср.
2.44. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: -\-q в
точке z = а, и ±д, находящегося в точке z = -а; начертить силовые линии.
Имеются ли в поле точки равновесия?
УКАЗАНИЕ. Вследствие симметрии силовые линии располагаются в плоскостях а
= const, a Ez и Er не зависят от а (цилиндрические координаты).
Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий разделяются после
замены
z + a z - а
и = ---, v = ---.
2.45. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых
линий точечного диполя, находящегося в начале координат.
2.46. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя, рассмотренного
в задаче 2.28,а и нарисовать их на компьютере.
2.47. Доказать, что поток напряженности электрического поля точечного
заряда q через некоторую незамкнутую поверхность S равен qQ,. Здесь ?} -
телесный угол, под которым виден контур, ограничивающий поверхность S, из
точки, где находится заряд q (?} > 0, если из этой точки видна
отрицательная сторона поверхности).
2.48. Заряд q\ находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на
расстоянии а от плоскости диска. Какой величины q2 заряд нужно поместить
в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля
через диск в сторону заряда q\ был равен Ф?
2.49*. Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных зарядов gi,
q2, ..., qn, расположенных в точках zi, z2, ..., zn оси z, не интегрируя
дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную в
задаче 2.47, к силовой трубке, образованной вращением силовой линии
вокруг оси симметрии.
2.50. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых
линий системы двух точечных зарядов (ср. с задачей 2.44) и линейного
квадруполя (ср. с задачей 2.46).
2.1. Электростатика
121
2.51. Равномерно заряженные нити, несущие заряды и -к2 на единицу длины,
параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h. Найти,
при каком соотношении между k,i и к2 в числе поверхностей равного
потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса.
Определить радиусы и положение осей цилиндров.
2.52. Точечные заряды q\ и -q2 находятся на расстоянии h друг от друга.
Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы
имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра и
радиус. Найти значение потенциала ср на поверхности этой сферы, если ср(
оо) = 0.
2.53. Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в
сферических координатах вид: cp(r) = (q/r) ехр(-от), где a, q -
постоянные?
2.54. Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный ими
потенциал имел в сферических координатах вид
где ео, а - постоянные?
Энергия и силы в электростатическом поле. Вычислим энергию взаимодействия
системы точечных электрических зарядов. Один заряд ei, находящийся в
точке с радиусом-вектором гi, создает в пространстве потенциал ср(г) -
е\/\г - 7*11. При перемещении второго заряда е2 из бесконечности в точку
с радиусом-вектором г2 нужно затратить работу R = = -б2<^12 = -e\ip2i = -
(l/2)(ei<^2i + е2у>12), где (раЬ = еь/\га - гь\ по-тенциал, создаваемый
зарядом еъ в точке га (для зарядов одного знака работа внешнего источника
отрицательна). Эта работа превращается в потенциальную энергию
взаимодействия зарядов: W = - А. Обобщая это рассмотрение на случай N
зарядов, получим их энергию взаимодействия (потенциальную энергию в
терминах классической механики):
где ср(га) - потенциал, создаваемый в точке нахождения заряда еа всеми
остальными зарядами. Слагаемые с а = b должны быть исключены.
Обобщим теперь полученные выражения на случай непрерывного распределения
зарядов в пространстве, описываемого объемной плотностью р(г). Поскольку
в элементе объема dV находится заряд de = p(r) dV,
N
N
(2.27)
122
Глава 2
последняя сумма в (2.27) должна быть заменена интегралом:
W=lj p(rMr)dV, (2.28)
где интегрирование проводится по всему объему, занимаемому системой
зарядов.
Пример 2.7. Две системы зарядов с объемными плотностями р\ и р2 создают в
заданной точке пространства потенциалы tpi(r) и (р2(г). С помощью (2.28)
получить выражения для собственных энергий систем VFn, W22 и их взаимной
энергии W12. Как вычислить силы взаимодействия между системами?
Решение. Подставляя в (2.28) р = р\ + р2, ^ = ^Р\ + ^2 и используя (2.9),
находим W = Wu + W22 + W12, где отдельные слагаемые можно записать в
разных формах:
Wu = \J dV=lJ dVdV'i (2.29)
= 2 JiPi^Pk "t" Pk^Pi) dV = Pi<Pk dV =
