Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
уравнение удовлетворяется, так как AG = 0. При г -> г' функция G имеет
особенность. Чтобы выяснить характер особенности AG при г -> г',
проинтегрируем (1.225) по объему малого шара радиуса R -> 0 с центром в
точке г = г'. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим
J AGdV = J div grad сП/ = j)
V V s
= Ф (¦ dS = - j jpR2 dn = -4тг.
Такое же значение дает интеграл по объему от правой части уравнения,
которое, таким образом, удовлетворяется.
102
Глава 1
1 129 f(x) - I-if cos(2fc + 1)0!
Ы29. m - 2 {2k + 1)3 •
1.130. /W = feg "n<f++i1^.
1.131. /(*) = | + & ?(-!)* c"<(2*t++1|"/z'1-
Ряд Фурье четной на интервале [-L, +L] функции, f(-x) = f(x), содержит
только косинусы. Нечетная функция, f(-x) = -f(x), разлагается по синусам.
Функция, не имеющая определенной четности, содержит в своем разложении
Фурье и синусы, и косинусы.
1.132. iXF(X).
1.134. 7гехр(-|А|).
1.135. ^ехр(-^).
а V 4а /
3/2 / т2 \
1.136. -- ехр-------- , где к - радиус-вектор трехмерного простран-
ен V 4сГ /
ства переменных Фурье (см. (1.252)).
1.137. Для вычисления интеграла Фурье (1.252) используем сферические
координаты и выберем ось Oz вдоль вектора к. Выполняя сначала
интегрирование по углам, а затем по г, находим
F(k)= lim M[i_cos(kR)}.
R *00 k
Формально функция, стоящая в правой части, не имеет предела. Но легко
понять, что предел косинуса можно считать эффективно равным нулю, так как
при выполнении обратного преобразования Фурье член с бесконечно
осциллирующим косинусом даст нулевой вклад. В итоге имеем F(k) = 4тг/к2.
1.138. Записываем разложение в форме
оо
ехр(г/сг cos0) = (кг)Pi (cos в) 1=0
1.4. Ответы и решения
103
и, пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра (см. задачу 1.112),
находим интегральное представление для искомых функций щ:
1
и,(Ах) = J eikrxPi(x) dx. -1
Использование формулы Родригеса и интегрирование I раз по частям дает
/7 \ (21l)(-ikr)1 f ihrx( 2 л\1 j
Мкт) =-------------------j егкгх(х - 1 )ldx.
-i
Далее разлагаем экспоненту в степенной ряд и интегрируем этот абсолютно
сходящийся ряд почленно. Остаются только слагаемые с четными степенями х:
00 т
щ(кг) = <2, + Ч-аг> v &1Г1 />.(1з _ !).*,
2'г! is, (2")! (
Наконец, переход к новой переменной интегрирования t = х2, dx =
dt/2\/t
позволяет выразить интеграл в последнем равенстве через бета-функцию:
Г tk-1/2(1 _ fy df = щк + 1/2 i + = Г(/г + 1/2)Г(г + 1)
J У ' \ / > > Т(1 + к + 3/2)
0
В итоге, собирая все сомножители, получаем следующий ряд: щ(кг) =
г] (кгУ L fcV/2 (fcV/2)2 ) =
1 1 • 3... (2Z + 1) \ 1! (2Z + 3) 2!(2/ + 3)(2/ + 5)
= il(2l + 1 )ji(kr),
где ji (кг) - сферическая функция Бесселя (см. [Абрамович и Стиган
(1979)], формула 10.1.2).
оо I
1.139. ехр(г^ • г) = 47т j] izj;(/cr)l^(6^)y;TO(tV)-
1=0 m= - l
Глава 2
Основные понятия электродинамики. Уравнения Максвелла
2.1. Электростатика
Закон Кулона. Электродинамика занимается изучением взаимодействий
разнообразных микроскопических и макроскопических объектов, вызванных
наличием у них фундаментального свойства, количественной мерой которого
выступает электрический заряд. Заряд может быть двух знаков -
положительным и отрицательным, причем тела, имеющие заряды одинаковых
знаков, отталкиваются, а тела с зарядами противоположных знаков -
притягиваются. Закон взаимодействия в вакууме неподвижных тел малых
размеров установил опытным путем французский физик Ш. Кулон еще в 18-м
веке:
QlQ.2 Г12
&12 = к--------- (2.1)
Г12 Г12
Здесь <7i и (72 - заряды двух тел, расстояние между которыми определяется
радиусом-вектором г 12 (рис. 2.1), ^12 - сила, действующая на тело 2 со
стороны тела 1. Имеем ^12 = -&21, т. е. кулоновская сила подчиняется
третьему закону Ньютона. Коэффициент к определяется выбором единиц
измерения электрического заряда и других физических величин.
Рис. 2.1
Если сила ^12 = 1 дина и г 12 = 1 см (система CGS), то к = 1, а заряд q =
- \Qi\ = \Q2\ имеет величину, равную одной единице CGSE, размерность
которой СМ3/2Г1/2С.
В Международной системе единиц (СИ) единица заряда определена вне связи с
механическими величинами через единицу силы тока - ампер - как количество
электричества, протекающего через сечение проводника за
2.1. Электростатика
105
одну секунду при силе тока 1 А. Эта единица называется кулон (К) в честь
первооткрывателя закона электростатического взаимодействия. В качестве
единиц длины и силы используются метр и ньютон, 1 Н = 105 дин. Поэтому
коэффициент А: = 1 /4тгб:о оказывается размерной величиной. Электрическая
постоянная ~
р - 10
?° _ ^---2'
4тгс
где с - скорость света в вакууме в м/с, также размерна. Эта величина
("диэлектрическая проницаемость вакуума") не имеет разумного физического
смысла и введена лишь для согласования электромагнитных величин (ампер,
кулон), используемых из практических соображений, с механическими
величинами. Единицы заряда в двух системах связаны между собой
соотношением 1 К " 3 х 109 CGSE. При этом два одинаковых заряда по 1 К,
