Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Лежандра годилось для точек наблюдения, находящихся внутри системы
зарядов.
2.24. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и
противоположно заряженных полуколец с зарядами q и -q. Найти потенциал ср
и напряженность Е электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков
характер поля на больших расстояниях от кольца?
2.1. Электростатика
117
2.25. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону сг=сго cos д.
Найти потенциал ср электрического поля, используя разложение по
мультиполям в сферических координатах.
2.26*. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным
образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют.
Выразить потенциал ср и напряженность Е электрического поля вблизи оси
симметрии через значения потенциала и его производных на этой оси.
2.27. Найти потенциал (р электрического поля равномерно заряженного
круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в
сферических координатах. Заряд кольца q, радиус R.
2.28. Найти потенциал ср электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: а) заряды q, -2q, q расположены по оси Oz на
расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q
расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды
имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд -\-q, а
стороны квадрата параллельны осям Ох и Оу (плоский квадруполь).
2.29*. Найти потенциал ср электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 2.6 а);
б) пространственный октуполь (рис. 2.66).
2.30. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами го,
$о, <^о- Разложить по мультиполям потенциал ср этого заряда.
+q
-3 q +3^
а
а
а
ГЯ______,±Я_
У
У
Рис. 2.6
2.31. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему; полный
заряд эллипсоида q. Найти потенциал ср на больших расстояниях
118
Глава 2
от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные
случаи эллипсоида вращения с полуосями2 а = Ь, с и шара (а = b = с).
УКАЗАНИЕ. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться
обобщенными сферическими координатами х = arsin^cosa, у = Ьг sin'#sin а,
г = = сг cos
2.32. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с
радиусами а, Ъ (а > Ъ) и зарядами q, - q соответственно, расположены в
одной плоскости. Найти потенциал ср на больших расстояниях от этой
системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см.
задачу 2.28).
2.33*. Показать, что распределение заряда р = ~(р' • V)?(r) описывает
элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат.
Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением дельта-
функции.
УКАЗАНИЕ. Исходить из разложения по мультиполям в декартовых координатах.
2.34. Доказать, что распределение зарядов
п
Р = ч\\{аг ¦ V)5(г)
г=1
создает потенциал
п
<p(r) = qY[(ai-V)l.
г=1
2.35. Используя результаты задачи 2.28 и учитывая, что квадруполь-ный
момент является тензором II ранга, найти потенциал ср электрического поля
на больших расстояниях от линейного квадруполя, направление оси которого
определяется полярными углами 7, /3. Каким еще способом можно решить
задачу?
2.36*. Пространственный октуполь (рис. 2.66) повернут вокруг оси Oz на
угол /3. Найти поле ср на больших от него расстояниях путем
преобразования компонент октупольного момента. Сравнить с другими
методами решения.
2.37. Найти потенциал ср электрического поля на больших расстояниях от
плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через
2Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором
приближении рассматривать как эллипсоиды вращения.
2.1. Электростатика
119
ось Oz (рис. 2.7). Компоненты квадрупольного момента получить
непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя,
рассмотренного в задаче 2.286.
Рис. 2.7
2.38. Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент единицы
объема Р. Найти потенциал ср электрического поля.
2.39. Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не
зависящей от координаты г. Если р ф 0 только в ограниченной области S
плоскости ху, то можно разложить потенциал ср вне распределения зарядов
по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.
УКАЗАНИЕ. Разбить систему зарядов на заряженные нити и использовать
принцип суперпозиции, а также разложение
оо
1п(1 + и2 - 2u cos а) = - 2 cosfca^fc^ |^| < 1.
к=1
2.40. Разложить по двумерным мультиполям потенциал ср линии с зарядом к
на единицу длины. Заряженная линия параллельна оси Oz и проходит через
точку (го, ао) плоскости ху.
2.41. Найти потенциал ср электрического поля на большом расстоянии от
двух близких параллельных линейных зарядов к, и - к, расположенных на
расстоянии а друг от друга (линейный диполь).
2.42. На диске радиуса R имеется двойной электрический слой мощностью г =
const. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля на оси
