Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
567
5.150. Изменение энергии одного осциллятора:
= 5<^А + ^Ь)-
<й 2'
Скорость изменения энергии поля:
dW _ dt 2
5.151. Сила Ffcx(t) в данном случае принимает вид
Fkx W = 6feA coswoi, где bkx = ~^(v0 ¦ ekx), v0 = w0r0
7TV 2
(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так
что орты е^Л - вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 5.149,
получаем
Ькх ,
qkx = ------{COSLUot - COS LUfct),
ик ~
если в начальный момент времени t = 0 осцилляторы поля не были
возбуждены. Это значение qkx подставим в выражение для скорости изменения
dWu Л
энергии поля излучения ---, найденное в задаче 5.150, dWkx Ькх
2 2 к COS Ш ot sill LU fct - LU о COSLUot sill LUot).
dt to^ - u0
Интегрируя последнее выражение no t от 0 до t, получим количество
энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (/с, Л):
Wkx = I dt = 6fcA
/
о dt шк~
СО ? 1 - COs(cUfc + Uo)t ^
2 UJ fe + UJ о
ик 1 - cos(^/-- си0 1 - cos2ujot
2 Ufa - 4
При cofc = и t -> oo второй член в скобках очень велик по сравнению с
первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит,
следовательно, резонансным образом: в первую очередь возбуждаются те
осцилляторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы F^x.
568
Глава 5
Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии,
полученные осцилляторами поля, у которых частоты не сильно отличаются от
из о, направление к заключено внутри телесного угла бЮ, а орт поляризации
(е^.2) имеет одно и то же направление:
CJ°+(5 3^2
сГо' = у>ъ = <4 / V .1^
fcA 2 с J ^LOk+LO о Wfc-Wo2
к, a (jJq-6
Подынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимум при
cj/e = ujq. Этот максимум тем уже, чем больше t. При достаточно
V- шкЬкх
больших t можно вынести плавно меняющийся множитель > , -за
\шк+ш°
знак интеграла, положив в нем иь = <^о- В оставшемся интеграле можно
устремить 5 к оо. Тогда он примет вид (см. формулу 1.218):
оо
/1 - cos at , , ,
----- ----da = Trt, t -> oo.
or
- oo
Мы получим, таким образом:
dW ^L+^LVo, dn 2 с3
Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хорошо
известный результат:
Ж = I dW = е2^2 sin2 г? бЮ t бЮ Атгс3
где через v2 = обозначена средняя скорость колеблющейся частицы,
через $ - угол между направлением и направлением к. При выводе
последней формулы мы воспользовались легко получаемым соотношением
Оо • ек1)2 + Оо • ек2)2 = vl sin2 д.
Интегрированием по углам находим полную интенсивность излучения
5.5. Ответы и решения
569
5.153. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 5.149.
Пренебрегая реакцией излучения, подставим в уравнение (3) напряженность
поля Е = Ео coscot падающей волны. Его решение, соответствующее
вынужденным колебаниям, имеет вид:
(1) r(t) = fSUJt2.
т со%-со2
Движение частицы под действием падающей волны будет возбуждать
осцилляторы поля излучения согласно уравнению (1) задачи 5.149, в котором
нужно силу Ffcx выразить через r(t):
2
тр е оо гьл ~ .
Fkx = ----------/= ' "2 "2 SmLVt
1Г17Т
л/2 LO2 -LOq
Орты поляризации выбраны вещественными. Решая уравнения (1) задачи 5.149
с начальным условием q^x(0) = 0, получим:
е2 . • екх)
тжу/2 (w| - u>2)(lo2 - LOq)'
^------2 2------^-(sinurf - sinu>kt).
Поступая далее так же, как в задаче 5.151, найдем интенсивность излучения
в направлении к с поляризацией, характеризуемой ортом е^Л:
^ d^kx 1 dWfcx е4 и (^° ' ек\)
сШ t dfl Siтт2с3 (со2 - cofy2
Из (2) видно, что рассеянное излучение линейно поляризовано в плоскости,
проходящей через Eq и к. Вводя угол $ между векторами Eq и к, получим:
/ \ 2
da _ 8т: dl _ I е2 \ и4 ~=п2$
dO, cEq dfl \тс2 J (loI-lo2)2
что находится в полном согласии с результатом задачи 5.127.
Интегрированием по углам находим полное сечение рассеяния:
(Т =
2
СО"
з \mc2 J (cOq - со2)2
Глава 6
Квантовая теория излучения и рассеяния фотонов
Современное понимание строения материи неотъемлемо от осознания того
факта, что основа всех явлений природы квантовая из-за квантового
характера законов микромира, являющегося фундаментом мироздания. Мы
ограничимся в этой главе некоторыми типичными задачами квантовой
электродинамики в узком смысле слова, т. е. теорией свободного
квантованного электромагнитного поля и его взаимодействия с веществом.
Эта "узкая" область достаточно обширна и очень важна с точки зрения ее
многочисленных физических и технических приложений. Вещество будет
рассматриваться главным образом в полурелятивистском приближении Паули
(раздел 6.2), но в разделе 6.3 будет затронуто и несколько сравнительно
простых релятивистских задач.
Предполагается, что пользователь книги знаком с основами квантовой
механики. Тем не менее, для удобства читателя и большей автономности этой
книги в Дополнении 3 авторы сделали попытку кратко изложить без
доказательств основные положения квантовой теории. В этом дополнении
приведены также некоторые узловые формулы, на которые имеются ссылки в
тексте книги.
6.1. Квантовая теория свободного электромагнитного поля
