Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 6.4. Найти собственные состояния оператора уничтожения фотона {т.
е. когерентные состояния) в виде разложения их по п-фотон-ным фоковским
состояниям. Нормировать их на единицу. Какова вероятность зафиксировать п
фотонов в данной моде, находящейся в когерентном состоянии?
Решение. Умножим скалярно обе части уравнения (6.27) на (п|, опустив для
краткости индекс моды s:
(n\a\z) = {z\a^\n)* = л/п + 1(п + l\z) = z(n\z).
Последнее равенство имеет характер рекуррентного соотношения,
позволяющего выразить все (n\z) через (0|z):
(n\z) = -^=(0\z). (6.28)
уп\
Из условия нормировки (z\z) = 1 и предыдущего равенства находим
00 00 (z*z\n
{z\z) = 5>|n)(n\z) = |(0|z)|2 ? = \т?е^ = 1.
71 = 0 71 = 0
Отсюда с точностью до фазового множителя получаем (0|z) = ехр(-\z\2/2) и
находим нормированный на единицу собственный вектор когерентного
состояния:
оо
\z) = ехр(-|г:|2/2)^^Ц|п). (6.29)
п=О v п\
Формула (6.29) позволяет вычислить вероятность регистрации п фотонов при
измерении поля, находящегося в когерентном состоянии. В соответствии с
правилами квантовой механики эта вероятность равна квадрату модуля
коэффициента разложения функции когерентного состояния по фоковским
волновым функциям, т. е.
I |2п
win) = \{n\z)\2 = exp(-\z\2) (6.30)
Это - распределение Пуассона со средним значением числа фотонов
(п) = И2, (6.31)
приходящихся на данную моду. ¦
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
583
Пример 6.5. Записать вектор \п) фоковского состояния в виде разложения по
когерентным состояниям \ z), рассматривая z как комплексный параметр с
непрерывным спектром.
Решение. Умножим обе части (6.29) на z*m ехр(-|^|2/2)/(7гл/ш1) и
проинтегрируем по всем значениям г, т. е. по cPz = dz' dz" = г dr dcp,
где z', z" - действительная и мнимая части комплексного числа г, г и ср -
его модуль и аргумент (фаза). В результате в правой части (6.29) получим
и, таким образом,
6.28. Показать, что векторы когерентных состояний неортогональны при z
z'\
Показать также, что вместо условия полноты (Д3.25) векторы когерентных
состояний удовлетворяют условию "переполненности", т. е. возникает
множитель 7г > 1:
6.29. Показать, что не существует нормированных собственных функций \/3)
оператора рождения а\ соответствующих конечным собственным значениям /3.
6.30. Исследовать временную эволюцию когерентных состояний. Показать, что
с течением времени когерентное состояние остается когерентным, а
соответствующая комплексная амплитуда описывает в комплексной плоскости
окружность. Период вращения совпадает с частотой моды.
(6.32)
(z\z!) = e^'-N2/2-kT/2 \{z\z')\2 = e-\z~z'\2.
(6.33)
(6.34)
^\z){z\ = f \z){z\d2z = n'^2\n){n\ =7T-1. (6.35)
z n
584
Глава 6
6.31. Найти вид волновой функции когерентного состояния в координатном
представлении. Показать, что когерентное состояние представляет собой
волновой пакет гауссовой формы, совершающий периодическое движение,
напоминающее движение классической частицы в потенциале гармонического
осциллятора.
6.32. Показать, что когерентные состояния могут быть получены при
действии оператора сдвига
D(a) = ехр(аа^ - а* а) (6.36)
на вакуумное состояние |vac) = |0), т. е. на состояние с числом
заполнения фотонов равным нулю.
6.33. Показать, что когерентное состояние характеризуется минимальной
неопределенностью значений координаты и импульса осциллятора поля, а
именно, что (AQ2) (АР2) = Н2/4, причем для безразмерных квадратурных4
компонент
Хг = = ? Х2 = 1/VhwP = -id/di (6.37)
выполняется более простое соотношение (ДА'-| )2 = (ДХ?) = 1/2.
6.34. Вычислить дисперсии координаты и импульса свободного осциллятора
поля некоторой моды излучения для произвольного начального состояния.
Показать, что дисперсии Di(t), безразмерных переменных (квадратурных
компонент, определенных в условии предыдущей задачи) в общем случае
осциллируют в противофазе с частотой, равной удвоенной частоте моды, а их
сумма является интегралом движения. Показать, что для фоковских и
когерентных состояний амплитуда осцилляций равна нулю.
УКАЗАНИЕ. Использовать операторы координаты и импульса осциллятора в
гейзенберговском представлении (см. ответ к задаче 6.4).
6.35. Определить дисперсию числа фотонов в когерентном состоянии
отдельной моды электромагнитного поля.
Разложение векторов состояний и операторов по когерентным состояниям.
Выше было показано, что волновые функции когерентных состояний образуют
полную (и даже переполненную) систему, которую можно
4Квадратурные компоненты характеризуются тем, что при колебаниях разность
их фаз составляет тт/2.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
585
использовать для разложения по ней векторов состояний и операторов:
|/) = ^ j{a\f)\a)d2a, (6.38)
О = JJd2ad2(3(a\0\(3)\a)(p\. (6.39)
Аналогичное разложение можно получить и для оператора плотности, но более
удобным является диагональное представление матрицы плотности
р = J d2a&(a)\a){a\. (6.40)
Оно получило название представления Глаубера-Сударшана. Условие
