Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
v/c)5
5.5. Ответы и решения
529
Угловое распределение полного излучения получится в результате
интегрирования (4) по dt' в пределах [0, Ь/с], где L/с 2тт/loq - время
движения частицы в ондуляторе. Это приведет к замене cos2 coot' на 1/2 и
умножению (4) на L/c. Выбираем ось Oz декартовой системы координат вдоль
длины ондулятора и отсчитываем полярный угол в вектора п от оси Oz, а его
азимутальный угол ср от направления Ео. Это позволяет записать п • v = =
vq cos 0, п • и = и sin в cos ср и
d&rad е4Е$Ь (1 -/?о cos#)2 - 7-2 sin2 #cos2 ср
d?l &тгс4т2^2 (1 - /?о cos#)5
В релятивистском случае характерные углы 6 ~ 7-1 С 1, поэтому угловое
распределение можно упростить:
^ dirad _ е4Е$Ь i
dQ, 7гс4ш272 (7 2 + #2)3 Интегрирование (5) no dd = 2тгв dO дает полное
излучение:
(6) grad =
2 cm
Характерные частоты, на которых происходит ондуляторное излучение, можно
оценить из следующих соображений. Преобразовав с помощью формул (4.70)
исходное поле Е = Ео costu^t в систему отсчета, движущуюся вдоль оси
ондулятора с невозмущенной скоростью частицы получим
(7) Е' =7^0cos(w,r + fc'C), H' = -\v0xE',
где а/ = 7CJ0, к' = lo'vq/c2 - частота и волновой вектор преобразованного
поля, г и С - время и координата в сопутствующей системе, в которой
движение частицы нерелятивистское. В этой системе с точностью до членов
порядка 7"2 С 1 выполняются соотношения, свойственные плоским
монохроматическим волнам в вакууме: закон дисперсии си'2 - с2к'2 ~ 0,
связь между напряженностями Е' _L Н', Е' " Н'. Это означает, что в
сопутствующей частице системе на нее воздействует поле плоской
монохроматической волны (или на квантовом языке "эквивалентные фотоны",
см. раздел 6.3). Излучение частицы можно интерпретировать как рассеяние
этой волны.
Частота волны а/, испускаемой частицей в сопутствующей системе, при
переходе в лабораторную систему испытывает еще один доплеровский
530
Глава 5
сдвиг (см. формулу, приведенную в условии задачи 3.35) и приобретает
величину
(8) и - ~Т\-----------аТ\------2 , л2 ~ •
7(1 -costi/с) 7 zjc0z
При 8 = 5 ГэВ релятивистский фактор электрона 7 ~ 104, излучаемые частоты
ио ~ 27гс/Ао72 ~ 6 х 1018 с-1, или длины волн А ~ Ао/72 = = 3 х 10 _ 8 см
- рентгеновский диапазон.
5.90. Система уравнений движения с указанными в условии задачи начальными
условиями легко решается и дает
s(t) = а(ех coscoot - еу sincoot) + /3\\ctez.
Траектория представляет собой спираль, скорость электрона составляет с
осью ондулятора угол 0 = (3±_ <С 1. Характер излучения зависит от
соотношения между 0 и характерным углом в между скоростью частицы и
направлением излучения. При 1^0^#~7-1 излучение, как и в задаче 5.85,
направлено вдоль образующей конуса, определяемого скоростью электрона, в
пределах угла 7-1. Наблюдатель будет видеть короткие вспышки
длительностью а/с(3±_7. Расчет спектрально-углового распределения
мощности излучения можно произвести таким же образом, как в задачах
5.83,5.85, предполагая в силу условия L Ао ондулятор бесконечно длинным.
Затем следует произвести интегрирование по телесному углу (как в задаче
5.84) и умножить результат на время движения электрона через ондулятор
L/с. В результате будем иметь
оо
dgrad уДе2и0Ь л-w-
2 СО/СОс
где = 3c^o73/9_l.
При 0 ^ 7-1 излучение заполняет весь конус, и использованный метод
расчета спектра теряет силу.
5.91. При решении задачи 5.79 были получены выражения (2) для п-й
гармоники поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник для
разных зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальными
фазами. Обозначив через ipi сдвиг фазы поля l-то электрона относительно
поля того электрона, которому приписан первый номер, запишем
результирующее поле в вещественной форме:
#Ш? = ~j]r J'n (пР sin д) cos п (иЛ - + Ф1).
5.5. Ответы и решения
531
Выражение для Нпа аналогично. Среднее значение интенсивности излучения за
период Т = Щ- равно:
т
dlnN = ^ ' т f + ^па) ^ ^ ^ = о
где dln - интенсивность излучения от одного электрона, найденная в
предыдущей задаче, a Sn - коэффициент, учитывающий интерференцию полей
электронов ("фактор когерентности"):
N
SN = N + ^2 cosn(tpi - ipv).
1,1'= 1 {1ф1>)
Рассмотрим частные случаи:
а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбите
^cosn(ipi - #) = 0;
б) при равномерном расположении электронов на орбите
1)
и
N
Siv = iV^cos27r(/-l)-| = ^
1=2
0, если ¦- - не целое число,
= N(-l)n sinmr = I
V П7Г 1\т2 П
tg - N , если - - целое число;
Появление множителя N2 не является, вообще говоря, безусловным признаком
большой интенсивности излучения, так как при этом возрастает и номер
гармоники. Пусть п = kN, где к - целое число. В нерелятивистском случае,
при 2kN[3 <С 1, пользуясь асимптотическими формулами (1.155) для функций
Бесселя, получаем даже при к = 1
2e2cN(N + l)(f3N)N+2
Inn = ------^------------------1
a (2N + 1)(27V)!
Г N п N п
^2 е27г(г_1)^г + ^ е_27г(г_1)^г _i=i 1=1
532
Глава 5
что дает
2 е2фА 8е2с(36 243е2с(38
