Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
путем получаем
(Ъ) d2luJ - e2(jJH (ЫЛ2 I Д2ч2
,5) duM - 6Л7 U ) " +fl >
КЫ& +
Эта довольно сложная функция упрощается в предельных случаях. В
частности, при ? 1 с помощью (1.170) находим:
<6> I(r) -
При ? -> 0 спектральная мощность стремится к нулю, наибольшего значения
она достигает при ? " 1. Полагая в последнем условии в = 0, найдем
значение критической частоты, за которым происходит экспоненциальный
завал спектра:
(7) о;с = Щ72.
Разумеется, это значение определяется лишь по порядку величины. Оно
находится в согласии с оценкой (5.78). Поскольку угловая скорость
вращения частицы (основная частота) coo = ft = есН/8 = eH/mcj (см. задачу
4.52), то полученному выше значению критической частоты отвечает
гармоника Фурье с номером
(8) пс = ^= 373 "1.
5.84. = ^2^°СН ^ f K5/s(x)dx. С помощью асимптотиче-
2 СО/СО с
ских формул (1.168), (1.170) находим спектральное распределение синхро-
526
Глава 5
тронного излучения в предельных случаях:
dlw
duj
3_3/_2
2п
1/3
УЗ г2
Vbr
е loh
(й)
1/2
ехр -
со <С С0с; (-g), w"wc.
5.85. Ультрарелятивистская частица, движущаяся по спирали, будет
испускать излучение вдоль образующей конуса с углом раствора тг - 2а в
пределах угла излучения 7-1. Повторяя в измененной геометрии расчет,
аналогичный тому, который был произведен в задаче 5.83, получим
спектральную мощность излучения в определенном направлении:
(1)
d2I,
СО
е2и)Н
dio dQ б7г3 7с cos2 а
(-**-) (7-2 + в2)2-^с cos а) У-1 ^ >
^2/3 (О + -2
в2
в2
Здесь в - угол между направлением наблюдения и образующей конуса
излучения, причем тг/2 - а ^ в, ? = (aco/3ccosa)(7-2 + в2)3/2. Период
между импульсами излучения был определен в задаче 5.76:
(2)
гг, 2тт8 2 27Г7 2
I = -- cos а = -- cos а. есЯ ин
Он использован при вычислении (1). Критическая частота определяется из
условия ? = 1 при 0 = 0:
(3)
-
Зс73 cos а
5.86. Спектральная мощность излучения облака электронов записывается в
виде интеграла от произведения функции распределения на спектральную
функцию одного электрона, найденную в задаче 5.85:
Фактически интегрировать нужно только по направлениям импульсов
электронов, что эквивалентно интегрированию по углу в и может быть
произведено таким же образом, как в задаче 5.84, с помощью приведенных
5.5. Ответы и решения
527
в условии той задачи формул. При интегрировании следует считать угол а
постоянным и заменить его в соответствии с условием задачи на тг/2 - 0. В
результате будем иметь
оо
dPuL = ^N^UH'^L Г {x)d
dto 8тг2 csin20 J 5/3W
200 /00 c
где оо с = 3ei^7o sin 0/mc. Предельные случаи малых и больших частот
приведены в ответе к задаче 5.84.
5.87. Спектральную мощность излучения моноэнергичного облака электронов
предыдущей задачи следует проинтегрировать по энергиям d@ = rac2d^y
электронов с соответствующей функцией распределения:
оо оо
(1) ^
7* 200/00с
Переходя от интегрирования по энергиям к интегрированию по переменной dr]
= d(2oo/ooc) = -277^7/7, имеем
оо оо
(2) J J K5/3(x)dx =
7" v
/о • ГЧ\ ("-1)/2 Vf °г
= f,d"jKws(x)<Lr.
О Г]
Интеграл сводится к табличному при г/* 1, т. е. при частотах со
^ 7*^н sin 0. В этом случае предел 77* заменяем на оо и после
интегрирования по частям используем формулу 11.4.22 в [Абрамович и Стиган
(1979)] В результате получим
(3)
dPoo
doo
8тг> + 1)
12
12
no1:
v-l
(sin 0)
(v-b)j2 e2u)H 1)/2
528
Глава 5
При наблюдении космических радиоисточников часто удается определить
спектральный индекс радиоизлучения a: dP^/dco ос со~а. Из сравнения с (3)
это позволяет найти спектральный индекс излучающих электронов:
(4) i/ = 2a + l, а = v 1.
5.88. v " 1,6 при ё < <?* и ^ " 3,0 при ё > ё*. Энергию излома спектра
можно оценить, имея в виду, что максимум излучения электрона с энергией ё
приходится на частоту со " 3сон{ё/тс2)2 (точнее, на 0,45сон(ё/тс2)2,
согласно численному расчету). Для оценки можно считать, что каждый
электрон создает дискретную линию излучения с такой частотой. Тогда со* ~
0,45cj#72. Подставляя численные значения, находим ё* ~ 5 х 1011 эВ.
5.89. Для расчета излучения
tfgrad d2g е2 [П X [(n -V/C)X V]]2
(1)
dt' dd dt' dCl 47г с3 (1 - n- v/c)5
(использованы формулы (5.67) и (5.60)) необходимо вычислить v(t) и v(t).
Используя уравнение движения релятивистской частицы (4.58), записанное
через скорость (см., например, ответ к задаче 4.41), будем иметь
{m~fv±_ + m~f3(v_\_/c2)(v\\v\\ + v±_ • г;_|_) = eEo coscoot, m'yv\\ +
m^(v\\/c2)(v\\v\\ + Vi • v±) = 0,
где обе части уравнения движения спроецированы на направления,
перпендикулярное и параллельное первоначальной скорости частицы vq- В
дальнейшем предполагаем v± <С г>ц, г>ц ~ ~ с, 7 = (1
- г^/с2)-1/2 > 1. Из
второго уравнения (2) следует г;ц ~ • v_l/c, т. е. г;ц ~
v_\_v_\_/c <С v_\_. Из
первого уравнения (2) теперь с точностью до членов (v±/c)2 <С 1 получаем
(3) v±(t) = usinuot, и= 6^п
(4)
mcoo^f '
Подстановка полученных значений v, v в (1) дает
(р grad e2COQ COS2
dt' dQ 47гс3
г/2(1 - n • г>/с)2 + 2(v • u)(n • u)(l - n • v/c) - 7~2(n • u)2 (1 - n •
