Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
потенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает поле на
расстояниях, малых по сравнению с размером тела.
Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и
эквипотенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системы
дифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных
координатах <71, <72, <7з имеет вид
где hi - коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности описываются
уравнением ip(r) = const.
Точками равновесия поля называются такие точки, находящиеся на конечном
расстоянии от системы зарядов, в которых Е = 0.
Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной из формул:
(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области
пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).
Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется
выражениями:
Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием U
или W по соответствующим обобщенным координатам ац:
hi dqi _ h2dq2 _ h3dq3 Ei E2 ?3
(11.14)
(11.15)
(11.16)
(11.17)
Постоянное электрическое поле в вакууме
33
Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить
соответствующую координату.
69. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему
с плотностью р. Найти потенциал ip и напряженность Е электрического поля.
70. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р = = ро
cos ах cos /3у cos 7z, образуя бесконечную пространственную периодическую
решетку. Найти потенциал ip электрического поля.
71. Плоскость z = 0 заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому
закону сг = сто sin ах sin /Зу, где сто, а, /3 - постоянные. Найти
потенциал ip этой системы зарядов.
72. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по
объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд
х. Найти потенциал ip и напряженность электрического поля Е.
73. Найти потенциал ip и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженной прямолинейной бесконечной нити.
74. Найти потенциал ip и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженного прямолинейного отрезка длиной 2 а, занимающего часть оси z от
-а до +а; заряд отрезка q.
75. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного
отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
76. Найти потенциал ip и напряженность Б электрического поля шара,
равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q.
77. Найти потенциал ip и напряженность Е электрического поля сферы
радиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.
78. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с
плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой
R\, а центр отстоит от центра шара на расстоянии а (а + R\ < R). Найти
электрическое поле Е в полости.
79. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых
R1 и R-i (R\ < R2), заряжено с объемной плотностью р =
г
Найти полный заряд q, потенциал ip и напряженность Е электрического поля.
Рассмотреть предельный случай R% -^> R\, считая при этом q = const.
34
Глава II
80. Найти энергию электростатического поля W для распределений заряда,
указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см.
(11.15)).
81. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г). Разбив
распределение заряда на сферические слои, выразить через р(г) потенциал
<р и напряженность Б поля (записать <р и Е в виде однократного интеграла
по г).
82. Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.
83. Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нор-
_2г
мальном состоянии, с плотностью р(г) = -^г-е " , а = 0,529 • 10-8 см -
7г а
боровский радиус атома, ео = 4,80 • Ю-10 CGSE - элементарный заряд. Найти
потенциал <ре и напряженность Еег электрического поля электронного
заряда, а также полные потенциал <р и напряженность поля Б в атоме,
считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить
приблизительный ход величин <р и Е.
Указание. Полезно воспользоваться методом решения задачи 81.
84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти
максимальное значение напряженности его электрического поля Е,ш.
1
Радиус ядра R = 1,5 • 10"13А3 см, заряд Zeо (А - атомный вес, Z
порядковый номер, ео - элементарный заряд).
85. Используя результат задачи 81, решить задачу 77.
86. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец
одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа,
которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности
в центр каждого из колец, равна соответственно А\ и А2. Найти заряды на
кольцах q\ и q2.
87. Найти потенциал <р и напряженность Б электрического поля на оси
равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q.
Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Б
испытывает скачок 47г<т. Рассмотреть поле на больших расстояниях от
