Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
элемента длины выражается формулой
dl2 = h\ dq^ + h2 dq2 + Л.§ dgf, а элемент объема - формулой
dV = h\h2hzdq\dq2dqz,
где
">^(Вг+(Юг+(Вг
(1.14)
(1.15)
(1.16)
- функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные
операции записываются так:
= [&<*>*>*>+ж(л +
rot А =
ei
dq2
е2
е3
Л2Л3 /ll/l3 /ll/l2
д д д
dqi dqi dq3
hiAi /12Л2 Из A3
(1.17)
Д</? =
1
/11/12/13
д (/12/13 д<Р \ , д (hi Из dtp \ Q / h\h,2 dtp \1
dq\ V h\ dqi) dqi V /i2 <9 <72' <Эдз V ft3 Эд3 / J '.
В формуле для rot А дифференциальные операторы действуют на эле-
OQi
менты нижней строки определителя.
20
Глава I
В сферической системе координат:
х = г sin i? cos а, у = г sin i? sin a, z = г cos
hr = 1, h.0=r, ha = r sintf;
____ 9<p , e#dip , eQ dip
grad (p - er --|------H---------;--,
dr r ov r sin a da
divA = \-@-(г2Аг) H------sintf) +
r2 or rsmv ov
1 ЗА".
rsini? da '
(rot A)r = (rot A)tf
r sin iJ Ydd 1 dA,
da .
1 d(rAa) r
rsini? da r dr
л",а\ ld(rAa) i dAr (rotAJo = -------------
Aip
r2 sin
1 9 Lir,*9?}
rintf&n d-d)
r2 dr V dr )
В цилиндрической системе координат: х = г cos а, у = г sin a, z = z;
+
d2(p
г2 sin2 д da2 ,
(1.18)
/ly ------ 1} /lo
hz = l;
. dip ea dip dip
er>dv=er-+--+e,--diyA-lfOvM + l^ + ^i
rdr ' r da dz
(rot A)r
1 dA,
r da
dAa dz '
(rot A)q
dAr dAz dz dr
(ro"A
При любых А и ip имеют место тождества:
rot grad </з = 0, div rot A = 0, div grad ip = Aip.
(1.19)
(1.20)
Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать
объемные, поверхностные и контурные интегралы друг в друга.
§ 2. Векторный анализ
21
Теорема Остроградского-Гаусса.
J divAdV = ? А • dS,
(1.21)
v
S
где V - некоторый объем, S - замкнутая поверхность, ограничивающая этот
объем.
Теорема Стокса.
где I - замкнутый контур, S - произвольная поверхность, опирающаяся на
этот контур.
В формулах (1.21) и (1.22) вектор А должен быть дифференцируемой функцией
координат.
36. Записать циклические компоненты1 градиента в сферических
координатах.
37. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими
координатами, вычислить div г, rot г, grad(l • г), (1 • V)r, где г -
радиус-вектор, 1 - постоянный вектор.
38. Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических)
координатах, найти rot(u> х г), где ш - постоянный вектор, направленный
по оси z.
39. Доказать тождества:
а) grad (уф) = ц> grad гр + гр grad у?;
б) div(y?A) = ip div А + А • grad у?;
в) rot(y?A) = ip rot А - А х grad у?;
г) div(A х В) = В • rot А - А • rot В;
д) rot(A х В) = A div В - В div А + (В • V)A - (А • V)B;
е) grad(A • В) = А х rot В + В х rot А + (В • V)A + (А • V)B.
Указание. Доказательство этих тождеств следует производить с помощью
оператора V, пользуясь правилами дифференцирования и перемножения
векторов и не переходя к проекциям на оси координат.
'См. задачу 10*.
(1.22)
s
22 Глава I
40. Доказать тождества:
а) С • grad(A • В) = А • (С • V)B + В • (С • V)А;
б) (С • V)(A х В) = А х (С • V)B - В х (С • V)A;
в) ( V • А)В = (А • V)B + В div А;
г) (А х В) • rotC = В • (А • V)C - А • (В • V)C;
д) (А х V) х В = (А • V)B + А х rot В - A div В;
е) (V х А) х В = A div В - (А • V)B - Ах rotB - В х rot А.
41. Вычислить gradyj(r); divy>(r)r; roty>(r)r; (1 • V)y>(r)r.
42. Найти функцию <р(г), удовлетворяющую условию div <p(r)r = 0.
43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а • г)Ь, (а • г)г,
(а х г), ?>(г)(а х г), г х (а х г), где а и b - постоянные векторы.
44. Вычислить grad A(r) - г, grad А(г) • B(r), div ip(r)A(r),
Totip(r)A(r), (1 • V)cp(r)A(r).
D ' Г D X Г
45. Вычислить grad =-=- и rot (p - постоянный вектор), вос-
г г
пользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах.
Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).
46. Доказать, что
(А • V)A = - А х rot А при А2 = const.
47. Записать проекции вектора АА на оси сферической системы координат.
Указание. Воспользоваться тождеством ДА = - rot rot А + grad div А.
48. Записать проекции вектора АА на оси цилиндрической системы
координат.
49. Интеграл по объему /(grad <р ¦ rot A) dV преобразовать в интеграл
по поверхности.
50. Вычислить интегралы f r(a-n) dS, §(a ¦ r)n dS, где a - постоянный
вектор, n - орт нормали к поверхности.
51. Интегралы по замкнутой поверхности § nip dS, f(n х a) dS, <f(n ¦
b)a dS (b - постоянный вектор, n - орт нормали) преобразовать в интегралы
по объему, заключенному внутри поверхности.
Указание. Решение выполнить по образцу предыдущей задачи.
§ 2. Векторный анализ
23
52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче,
вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к
элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
53*. Пусть /(а, г) удовлетворяет условию
где ci и с2 - произвольные постоянные, и является дифференцируемой
функцией г. Доказать, что если V - произвольный объем, S - ограничивающая
его поверхность и п - орт внешней нормали к этой поверхности, то имеет
