Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(соответствующие оси координат систем 5 и S' параллельны между собой,
относительная скорость направлена вдоль оси Ох и при t = t' = О начала
координат 5 и S' совпадают). Обратные преобразования Лоренца получаются
как здесь, так и во всех других случаях (например, в формулах (Х.4), (X.l
1)) изменением знака скорости V:
х' = 7 (x-Vf), у' = у, z' = z, f' = 7(f-^). (Х.2)
Величины хо = ct, х\ = х, Х2 = у, хз = z являются координатами мировой
точки
Xi = (ct, г). (Х.З)
Всякие четыре величины Aq, А\, А?, Аз, преобразующиеся при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой как координаты и время, т. е.
по формулам
А,=7К + М), ^ =7И/1+/М'), А2 = А'2, А3 = А'3 (Х.4)
1В этой и следующих главах применяются обозначения:
и 7= 1
где V - скорость системы S1 относительно системы S.
§ 1. Преобразования Лоренца
157
образуют четырехмерный вектор (4-вектор) Ai, i = 0,1,2,3. Трехмерный
вектор А = (А\,А2,Аз) называют пространственной, а величину Ао временной
составляющими 4-вектора А^.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов определяется следующим
образом:
AiBi = АоВо - А\В\ - А2В2 - А3В3. (Х.5)
Как и раньше (см. гл. I), будем подразумевать суммирование по дважды
повторяющемуся индексу, который теперь принимает значения 0, 1,2, 3. При
этом слагаемое с индексом 0 берется со знаком плюс, а слагаемые с
индексами 1, 2, 3 - со знаком минус. Этим правилом знаков при
суммировании будем пользоваться и в дальнейшем.
Квадраты 4-векторов А2, определенные в соответствии с (Х.5), и их
скалярные произведения AiBi имеют одинаковые значения во всех инер-
циальных системах отсчета (инварианты относительно преобразований
Лоренца). 4-вектор Ai называется пространственноподобным, если А2 < О, и
времениподобным, если А2 > 0.
Инвариантная величина
"12 = [(с2(*1 - t2)2 - (ri - г2)2] 1/2 (Х.6)
называется интервалом между двумя событиями с координатами (ri,ti) и
(r2,*2).
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом,
называется собственным временем этого объекта. Если объект движется
относительно системы S со скоростью V, то интервал собственного времени
dr выражается через промежуток времени dt в системе S по формуле
dr = dty/l - V2/c2. (Х.7)
Величина dty/l - (З2 является инвариантом преобразования Лоренца.
Если некоторый стержень в покое имеет длину Iq, то при движении со
старостью v вдоль своей оси он имеет с точки зрения неподвижного
наблюдателя длину
I = loyJl-v2/c2. (Х.8)
Четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы называется 4-вектор,
компоненты которого определяются формулой
158 Главах
где v = dr/dt - обычная скорость частицы. Из (Х.9) очевидно, что
tt?=c2. (Х.10)
4-скорость, как и всякий 4-векгор, преобразуется по формулам (Х.4).
Компоненты обычной скорости не являются пространственными составляющими
какого-либо 4-векгора и преобразуются по формулам (V || х):
< + у vWl~v2/c2 vW'-v2/*
Vx l + v'xV/<?' Vy l + v'xV/<? ' Vz l + <K/c2 ' '
Если скорость частицы составляет с осью х углы д и д' в системах S и S'
соответственно, то
г/л/1 - V2/с2 sin •в' г------ -----
tgti = -----j-zz-------, V' = Jv'2 + v'2 + V'2. (Х.12)
V COSV +V У У
Четырехмерным ускорением частицы называется 4-векгор с компонентами
dui (Pxi . .
- ~dr ~ ~&г*' (ХЛЗ)
Волновой вектор к и частота и плоской электромагнитной волны являются
компонентами волнового 4-вектора к
Поэтому фаза плоской волны ip = -kiXi является инвариантом.
Из формул (Х.4) следуют формулы преобразования угла •в, составляемого
световым лучом с осью х:
tgtf = " ил, сс.<= C0S!'+^,. (Х.15)
7(cos тЭ + (3) 1 + /3 cos
Задачи на преобразование Лоренца для энергии, импульса и силы собраны в §
1 гл. XI.
543. Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V
вдоль оси х. Часы, покоящиеся bS'b точке (xq, у'0, z'0), в момент t'0
проходят мимо точки (хо, i/o, zq) в системе S, где находятся часы,
показывающие в этот момент время to. Написать формулы преобразования
Лоренца для этого случая.
§ 1. Преобразования Лоренца
159
544. Система S' движется относительно системы S со скоростью V.
Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и S' всегда будут
отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых
последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе
отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания
движущихся часов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо
друга.)
545. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе
отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в
течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы,
и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методе
измерения получается обычное лоренцово сокращение.
546. Система S' движется относительно системы S со скоростью V. В
момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих
систем показывали одно и то же время t = t' = 0. Какие координаты в
