Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
перехода жесткое требование, являющееся центральным моментом приближения:
к' - к = Gn. (6.3)
Таким образом, можно переписать разложение (6.2) с учетом периодичности
потенциала U(г):
= ^ + + + <">
п п к к+Сг7),
Очевидно, чтобы разложение (6.4) имело смысл, необходимо потребовать,
чтобы основное состояние было невырожденным, т. е. Е% ф I'-'i+c > иначе
Ek • оо. Это значит, что объем обратного пространства, занятый
невозбужденными состояниями, не должен достигать зоны Бриллюэна. Однако,
это не так. Поэтому, вероятно, нужно попробовать определить энергию
возмущенного состояния из уравнения Шредингера, используя функцию Блоха в
форме (5.27), когда периодическая часть функции разложена в ряд Фурье по
векторам Gn :
Vk{r) = ^cfcrlexp(i (к + Gn) ¦ г).
П
(6.5)
6.1. Энергетический спектр электрона 73
Запишем уравнение Шредингера (5.5), подставляя выражение функции (5.27):
(тк + ^(г)) ^Скпвг {k+Gn)'r = ЕкТ. с*"ег {k+Gri)'r¦ ^
\ / п п
Для полного решения задачи необходимо определить значение коэффициентов
скп. Для этого выберем из разложения (5.27) функцию
скп> ехр(-г (к + Gn>) ¦ г),
соответствующую определенному значению вектора обратной решетки и умножим
ее на уравнение (6.6), интегрируя по всему объему кристалла:
J2cknCkn' [ e-i{k+G^-r^e^k+G^-rd3r+
П ^
+ ^2скпскп, I U(r)e~l{G"'~Gn')'rd3r =
П ^
= EkJ2cknckn> [ e-^k+G^re^k+G^rd3r.
п J
Поскольку функции Блоха образуют ортонормироваииую систему, то можно
предыдущее выражение переписать так:
^cknckn'5nn'Ek+Gn, + ^2скпскп, f U{r)e~%{G^'~Gn)"rdir =
П П
= ^ у ^кп^кп' $пп' 5
п
ИЛИ
^кп'Скп' ^к Н~" Оггг/ ^ ^ ^knUn/ - п = 0. п
Знак суммы в первых двух членах этого выражения пропадает. Un - фурье-
образ потенциала U(r).
Итак, имеем:
Скп' {Ek-\-Gn> = 'У ^ Cfcn Uп; - п¦ (6.7)
п
74
Лекция 6
Придавая векторам Gn и Gn> конкретные значения, получаем систему
уравнений относительно коэффициентов скп разложения функции Блоха. Когда
коэффициенты найдены, то все электронные состояния определены. Нас будут
интересовать только те значения вектора обратной решетки, которые лежат в
первой зоне Бриллюэна, т. е. всего два значения для случая одномерной
решетки:
Gn' = о,
(6.8)
Gn' = О V
Это соответствует центру и границе зоны Бриллюэна. Итак, подставляя (6.8)
в систему уравнений (6.7), находим
Cfc, о (Ек - Ek) + Ck-gUg = О,
Ck,-g (Ek-g ~ Ek) +Ck,0U-g = 0.
(6.9)
Эта запись означает, что среди совокупности коэффициентов ск^ п мы
выделили только два коэффициента, соответствующие волновым функциям,
описывающим электронные состояния вблизи центра зоны Бриллюэна и ее
границы. Смесь этих волновых функций и будет соответствовать состояниям
электрона в периодическом поле. Рассмотрим явно систему (6.9). Условием
разрешимости ее является равенство нулю детерминанта
det =
Е°к-Ек Ug U-g Е°к-Ек
= 0,
ИЛИ
El
Ek (Е\
Е1-д)
Е°кЕ°к_д UgU_g = 0.
Таким образом, для энергии возмущенного периодическим полем электронного
состояния имеем:
Е, = А
{Е°к + Е°к_д} ± {(Е°к + Е°к_д)2 - 4Е°кЕк
Щи-д
преобразуем это выражение:
6.1. Энергетический спектр электрона
75
Здесь очень хорошо видно, что в результате возмущения, обусловленного
периодическим потенциалом, исчезают, как самостоятельные, электронные
состояния с энергией Ек, Ек_д
рО hk2 ро Н /, _ \2
о(tm)' о(tm) 9) 1
(6.11)
а вместо них возникает смешанное состояние с энергией Еь (6.10), которому
соответствуют смешанные волновые функции. Еще раз подчеркнем, что
возникшее состояние с энергией Ек явилось результатом смешивания из-за
возмущения двух ранее вырожденных по энергии невозмущенных состояний.
Рассмотрим подробнее выражение для энергетического спектра (6.10)
электрона. Определим обратную решетку для одномерной ионной цепочки и
зависимость энергии от волнового вектора
Далее, рассмотрим два случая: Пусть волновой вектор к принимает значения
близкие к центру зоны Бриллюэна к и 0, тогда оказывается, что разность
невозмущенных энергий Е% - Е%_д велика в сравнении с возмущающим
потенциалом Ug (по условию задачи он мал) и, согласно выражению (6.10),
имеем:
невозмущенного состояния Е? (6.11) в схеме приведенных зон (рис. 2).
Д* ~ ! [Е°к + Е°к_д ± (Д° - Е°к_д)] .
Здесь необходимо выбрать знак (+), иначе мы не будем в центре зоны
Бриллюэна:
Рис. 2
тр тр(r) ftk2
Ек-Еь- ~2т'
(6.12)
Это значит, что в центре зоны Бриллюэна электроны в периодическом поле
тождественны свободным электронам и им отвечает квадратичное
дисперсионное соотношение. Далее, рассмотрим состояние с волновым
вектором к, лежащим на границе зоны Бриллюэна, т. е. к = д/2. Подставляем
значение к в (6.10):
Ek = \{E"/2 + E%/2±2(UaU-ay
76
Лекция 6
или
Eg/2 = E°g/2±(UgU_gy . (6.13)
Итак, на границе зоны Бриллюэна энергия электрона в периодическом поле
решетки имеет два значения:
Eg/2 = E°g/2-(UgU_g)1i , (6.14)
Eg/2 = E°g/2 + (UgU-gP , (6.15)
т. е. меньше и больше соответствующего значения энергии свободного
электрона Egj2. Эти значения энергии разделены энергетической "щелью",
