Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
если сообщить к-му проводнику заряд q\t = 1, а остальные проводники
оставить незаряженными. Все эд > 0.
54
Глава III
Очевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными
функциями их потенциалов:
П
<Zi = 5>*^ (* = 1,2,3,...,п). (111.28)
к=1
Величины С{к называются емкостными коэффициентами. При этом сц > 0
(собственные емкости); с** = с*" > 0 при i Ф к (коэффициенты взаимной
емкости, или просто взаимные емкости).
Величина с** представляет собой заряд, приобретаемый г-м проводником,
когда все проводники кроме fc-го заземлены, а к-й проводник имеет
потенциал = 1. Матрицы зд и Cik являются взаимно обратными.
В случае одиночного проводника имеется единственный емкостный коэффициент
сц, называемый при этом просто емкостью. Емкость конденсатора (III. 14)
может быть выражена через емкостные коэффициенты его обкладок (см. задачу
180).
Энергия системы проводников имеет вид
W=\Y. ЪкУ&к = \ 53 3*Шк. (111.29)
i,k i,k
Обобщенная сила Fa соответствующая обобщенной координате а, определяется
формулами:
= wi- да-3")
ik ik
При решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности
Грина: если потенциалы п проводников равны Vi, Vi, V3, ..., Vn, когда их
заряды qi, q<i, qz, ¦ ¦ ¦, qn и равны V{, Vq, V3', V", когда их
заряды q[, q?, q'3, ..., q'n, то имеет место соотношение:
П П
5>^' = E^- <IIL31)
j=i j=i
179. Доказать теорему взаимности Грина (III.31). Доказать с помощью
теоремы Грина, что
180. Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других
проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить
емкости С и С' конденсатора и уединенного проводника, образующих эту
систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости
проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2, равны
нулю.
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты
55
181. Выразить потенциальные коэффициенты од через емкостные од в случае
системы двух проводников.
182. Емкости двух уединенных проводников равны с\ и сг. Эти проводники
находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е вакууме на
расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами. Показать,
что емкостные коэффициенты системы равны
Указание. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до
величины 1 /г.
183. Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны сц, С22" ci2
= C21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат эти два
проводника.
184. Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по углам квадрата.
Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволочкой
поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами
2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение заряда
между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты
системы заданы.
185. Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятся в вершинах
равностороннего треугольника со стороной 6 ^ а. Вначале все сферы имели
одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись на время,
достаточное для установления равновесия. Какой заряд остается на каждой
сфере по окончании всех операций?
186. Собственные емкости двух проводников, находящихся в однородном
диэлектрике, С\ и С2, их потенциалы V\ и V2, расстояние между
проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними
силу F.
187. Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом V\ содержит внутри
себя проводник с потенциалом Vo- При этом потенциал в некоторой точке Р
между проводящими поверхностями равен Vp. Пусть теперь проводники
заземлены, а в точку Р помещен заряд q. Какие заряды будут при этом
индуцированы на проводниках?
188. Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место
точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном
проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с эквипотенциальной
поверхностью поля этого проводника.
56
Глава III
189. Два проводника с собственными емкостями сц и С22 и взаимной
емкостью С12, составляющие часть некоторой системы изолированных
проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость
объединенного проводника, коэффициенты взаимной емкости его и остальных
проводников системы?
190. Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и
внешних обкладок, соответственно а и 6, изолированы и находятся на
большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщены заряды q и
qi, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно)
изменение AW энергии системы.
191. Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую
толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через которое проходит
изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с
третьим проводником, находящимся на большим расстоянии г от конденсатора.
Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой
конденсатора он несет заряд q. Раднус внешней обкладки конденсатора 6,
