Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
становится больше единицы, достигает максимума и затем опять убывает и т.
д. Аналогичная картина складывается, когда [За изменяется в сторону
отрицательных углов. На рис. 5 приведен качественный ход рассматриваемой
зависимости
Очевидно, что при |/За| = 2ттп, где п = ± 1, ±2, ..., ±N, функция f = +1,
при \[3а\ = (2п + 1)тт имеем f = - 1.
Значения [3а, удовлетворяющие условию (7.18), т. е. корни этого
уравнения, получим, проводя прямые параллельные оси [За, и на расстоянии
cos ка от нее. Меняя ка от 0 до тг и проводя соответствующие прямые,
(7.18)
находим
88 Лекция 7
Рис. 5
параллельные оси [За, находим точки пересечения прямых с кривой,
описываемой функцией /. Эти точки и есть решения трансцендентного
уравнения (7.18). При этом видно, что там, где |/| > 1, вещественных
корней нет. Это значит, что значения [За, соответствующие |/| > 1, а
значит и энергии, не являются в этих интервалах собственными энергиями в
уравнении Шредингера (7.2). Следовательно, весь интервал изменения [За, а
значит и е, является дискретным, т. е. распадается на зоны разрешенных и
запрещенных энергий и значений [3а. Разрешенные значения [За на рис. 5
показаны жирной чертой. С возрастанием \[3а\ ширина разрешенных значений
|[За\, а значит и энергий, растет за счет уменьшения запрещенных. Каждому
разрешенному значению энергии соответствует два значения [За,
отличающиеся знаком. Следовательно, приближение Кронига-Пенни дает нам
тот же результат, что и приближение почти свободных электронов, т. е.,
спектр энергий электрона в периодическом поле решетки состоит из
непрерывных полос, разделенных интервалами запрещенных значений энергии.
Равноценность выводов обоих приближений позволяет утверждать, что распад
энергетического спектра на полосы в приближении Кронига-Пенни не связан с
принятыми предельными условиями. Обсуждая уравнение Кронига-Пенни, мы не
делали никаких заключений о величине приведенного обрезывающего
потенциала. Однако энергетический спектр электрона существенно зависит от
этой величины. Предположим, что Р = 0, тогда, согласно (7.18) 2
cos (ka) = cos (/За), е = (7.19)
и, следовательно, ±ка + 2ттп = [За. Это значит, что [За может
принимать
7.1. Приближение Кронига - Пенни
89
любые значения, т. е. разрешенными являются все значения энергии то нуля
до бесконечности. Такая ситуация, как мы знаем, свойственна свободным
электронам, когда энергетический спектр непрерывен и отсутствуют
интервалы запрещенных энергий.
Предположим другой крайний случай, т. е. Р = оо. Мы знаем, что если
величина Р растет, то, согласно рис. 5, зоны дозволенных значений (За
уменьшаются и когда Р = оо эти зоны вырождаются в дискретные уровни.
Действительно, если внимательно изучить рис. 5, то легко увидеть, что в
этом предельном случае величина /За вообще не зависит от к, а
определяется соотношением
(За = шг, где п = ±1, ±2, .... (7.20)
или, раскрывая значение (3, находим
h2n2
п = ± 1,±2, .... (7.21)
8 та
Как известно, эта формула определяет энергетические уровни электрона в
изолированном атоме. Следовательно, этот случай соответствует полностью
связанному электрону. Сопоставляя оба предельных случая, можно сказать,
что величина обрезывающего приведенного потенциала Р характеризует
энергию связи электрона, т. е. его свободу или локализацию.
Рассмотрим еще случай, когда величина Р сравнительно велика и электроны
сильно связаны. Зоны дозволенных энергий тесно примыкают к значениям [За,
равным тт. Пусть ширина этих зон есть Д, тогда разрешенные значения [За
можно задать так:
(За = птт + Д, где Д"0. (7.22)
Подставляем это условие сильно связанных электронов в уравнение Кронига-
Пенни:
cos (ак) = (-1)" + P^-j^j-A. (7.23)
Действительно, так как
cos ((За) = cos(n7r + Д) = cos(n7r) cos Д + sin(n7r) sin Д = ( - 1)",
sin(/3a) = sin(mr + Д) = sin(n7r) cos Д + cos(n7r) sin Д = (-1)" Д,
(3a = nir + Д - П7Г.
90
Лекция 7
Разрешаем уравнение (7.23) относительно ширины разрешенной зоны:
А ~ ^р- [( - 1)" cos(ka) - 1].
Отсюда, используя (7.22), находим
/За = пп + А = пт: |l + р [( - 1)" cos (ка) - 1] | (7.24)
Раскрывая величину /3, согласно (7.8), находим в явной форме
энергетический спектр сильно связанных электронов:
2та2 _
_ <-> ?г
= mr jl - р + ^(-l)"cos(/ca)| ,
ИЛИ
_ _ h?n* г 1 1 п2
?-77, -- г
[i - 1)" cos(/ca)j
(7.25)
п = ±1, ±2,
Из этой формулы очень наглядно видны особенности энергетического спектра
сильно связанных электронов.
Потребуем, далее, чтобы рассматриваемая кристаллическая цепочка
удовлетворяла циклическим условиям Борна-Кармана, т. е. перейдем от
безграничного к ограниченному кристаллу. Мы знаем, что в этом случае
волновой вектор меняется не непрерывным, а дискретным образом согласно
формуле (5.30)
к=Ш (7-26>
где z ~~ целое число, изменяющееся, согласно (5.31), в интервале
-f < * < f • {121)
Каждому значению z из этого интервала будет соответствовать два
решения, т. е. когда /3 > 0 и когда [3 < 0. Однако на
каждое значение волнового
