Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Знаменатель имеет нули в точках kz = + _ ; чтобы выяснить
правило
VW - 1
обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > О при
kz > 0, п" < 0 при kz < 0 (см. аналогичный анализ в задаче 827; в данном
случае знак ui совпадает со знаком kz, так как lj = к • v). Поэтому оба
нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной kz. При
z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого
радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная функция
обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам 595
в верхней полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен нулю.
При z < vt замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости. Вклад в
интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим:
ОО
Г eik.(z-vt) 2тг k^(z-vt)
У fc2 -fc2(/32n2-l) * jfcxv^^T v^M'
Интеграл по а выражается через функцию Бесселя Jo(к±г) (см. П 3.11).
Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7),
приведенной в справочнике [90]. Таким образом, при /Зтг > 1 имеем:
V?(R, t)
2е
,__________________________ при z < vt - гу/ в2п2 - 1,
?у/ (z - vt)2 - г2(/32тг2 - 1)
0 в остальном пространстве.
е v (2)
Векторный потенциал А получается умножением у? на
Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова-Черенкова
/Зтг > 1 поле является разрывным. Оно существует только внутри конуса,
поверхность которого описывается уравнением
z - vt + Гу/(Рп2 - 1 = 0. (3)
Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы
угол в = arccos . Как следует из (3), коническая волна распространяется
вдоль оси z со скоростью частицы.
Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но
и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны указанного
типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со скоростью, большей
скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот же характер имеют
волны, образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся
судном.
834. Излучение Вавилова-Черенкова происходит при условии /Зтг > 1, где
п(ш) = y/e(u>)(i(u>); векторный потенциал имеет вид:
[ ехрi%(y -vt + у//32тг2 - l|z|)
= iJ f
c J у/p2n2 - 1
2J& f fi(u) dw
ЫВ-Ч - ~2~ I CD J
\//32n2
0n>l v
596 Глава XIII
Тормозящая сила вычисляется по формуле f = ^(j х В), где В должно быть
взято в точке z = 0, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси
у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: Fy = -
шв_ч. Этот результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.
835. Un _ ц -
2е
в-ч - ~г
/ (1-----i~n ) (l±cos^ jwdu;. Знак плюс соответ-
с /Зп> 1 ' 0 п ' ' '
ствует случаю а), минус - случаю б). Спектральная плотность излучения
двух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности излучения
одного заряда множителем 2 ^1+cos . Поэтому интенсивность гармоник
с частотами
(л} = 2жп (п = 0,1,2, ...)
возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами
LJ= ^(2п + 1)
исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для
перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению
движения, нужно разложить 1 - cos в ряд, считая аргумент косинуса малым.
Это даст
и)в-ч~^ /
/Зп>1
где р-электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.
836. wB_4 = -j-r- / (1--Т5Ц) [cos2 а + i sin2 a(/?2n2 - 1) u3cLj, c v
/3n>l /5 71 / L ^ J
где n = y/e, p - электрический дипольный момент в лабораторной системе
отсчета.
837. wB_4 = -^ / (l - -^)п2о;3<Ь.
с v /Зп>1 0 П '
838. Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от
потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса
а, окружающую траекторию частицы. Для вычисления
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам
597
потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении задачи
827, если в этой формуле взять значения полей при г = а и вести
интегрирование по всем частотам от 0 до оо. Используя выражения компонент
поля, найденные в задаче 826, и указанный в условии данной задачи
конкретный вид функции е(и), получим
" " оо
ИМ 2е2ш§ " . /7 1-х2
dl nv2
Rei J - /32 ^s*aKi(s*a)Ko(sa)xdx, (1)
где x = e(0) = eq = 1 H-| - статическое значение
диэлектрической
u>0
проницаемости,
<2>
Как следует из формулы (1), в потери вносит вклад только мнимая часть
интеграла. Функции Ко и К\ - вещественны при вещественном аргументе,
поэтому интересующая нас мнимая часть интеграла будет определяться только
той областью изменения х, в которой s будет комплексным. Эта область, как
видно из (2), зависит от знака и величины параметра 6.
Если 6 > 0 (это означает, что v < ), то s будет чисто мнимым при
V л/ёо/
значениях х в интервале (Vb, 1) и вещественным вне этого интервала. Если
6 < 0 ( этому соответствует v > -2=), то s будет мнимым при 0 ^ х ^ 1
V л/SO'
и вещественным при х > 1.
Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла
