Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
при подстановке In в разложение (XII.40) и переходе к пределу N -* оо.
ОО , д .
Это вытекает из того, что / cos etkr(dk) -" 0 при TV -> оо вслед-
о л
ствие быстрых осцилляций. Таким образом, эффективно можно положить
'Рк = 2^к?'
Заметим, что значение I = lim In = можно получить, например,
N-ЮО К
ОО
если определить I как предел / е-Ьг sin кг dr при 6 -> 0.
о
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны 579
Можно получить тот же результат и другим способом. Применяя к обеим
частям равенства <p(r) = f yjicetk r(dk) оператор Лапласа Д, получим
(д^)к = -fcVk-
С другой стороны, выражение компоненты Фурье (Aip)k = -^ мож-
2п
но получить, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона А<р
= -Аже6(т). Приравнивая эти два выражения для (Ду?)к, получим для прежний
результат.
809. Ек =-гк<^к =--%•
2п2кГ
810. Так как объемная плотность р(r, t) = eS(г - v?), то
ръ* = -фр JJ 5(г - vt)e i(k r wt)(dr) dt
= tAi f e<("-k'v) dt = J(k ¦ V - w). (2tt)4 J 87t3
- OO
Отсюда с помощью результатов предыдущей задачи находим
е <J(k-v-w)
Таким же образом можно получить, что
ev J(k • v - и)
Акш
2тг2с "2 _ W2 * с2
Используя выражения компонент напряженностей поля (см. решение задачи
805), получим:
580 Глава XII
Во всех компонентах поля присутствует множитель <S(k • v - w), обязанный
дисперсионному уравнению w = к • v. Благодаря этому, все разложения Фурье
электромагнитного поля в данном случае фактически являются не четырех, а
трехмерными. Например, в случае потенциала <р:
ОО
(к) -ОО к2~^
где
/ ч е е-*(к'у)'
^к(<) = 5? ' к2-и2/с2'
812. Рассмотрим вычисление скалярного потенциала. Согласно уравнениям в)
решения задачи 807
47гРкы , , Л
<Р1ш =---------(е = ц = 1).
1.2 Ш
к ~г
Компонента Фурье плотности заряда:
Рки, = J[Р' gradS(r - vt)\e-i(k'r-ut)(dr) dt =
= лГ^4 /[Р ' grade-<(k-r_u't)]J(r - vi)(dr) dt = - к • v).
(27t)4 J {2ж)л
Дисперсионное уравнение w = к • v имеет тот же вид, что и в случае поля
равномерно движущегося точечного заряда (см. задачу 810). Поступая при
вычислении <р(г, t) в соответствии с указанием к задаче 811, получим:
<p(r,t) = -р- grad^ = (1)
где г0 = (х - vt, ^,r* = ^(х - vt)2 + -^(у2 + z2).
Аналогичные вычисления дают для векторного потенциала
§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны 581
813.
Шо
"*з
Ч * Шо х г "
а)А =--------<р = 0;
7 г
б)А=ш^хг:> V = 3^A
816. Разложим все векторы, входящие в уравнения Максвелла, на
безвихревую и соленоидальную1 (или продольную и поперечную - см. задачу
815) части:
Е = Ец+Е±, j=j||+j±,l Н = Нх, Нц = 0. J К)
Приравнивая поперечные части векторов, получим из уравнений Максвелла:
rotE± = -±H, rotH = iE± + ^j±4 (2)
div Ex = 0, div Н = 0.
')
Продольная (безвихревая) часть электрического поля определяется
уравнениями:
divE||(r,i) =4тгр(М),'1 rotE||(r,t) = 0, J
имеющими вид уравнений электростатики. Время в них входит как параметр.
Отсюда следует, что Ец - кулоново поле.
817. Согласно результатам задачи 8076,
<ZkA + = °'
где Шк = кс.
Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Его общее решение
имеет вид:
qk\{t) = dk\e~tu>t + bk\etut.
Коэффициенты акл и бкл связаны между собой соотношением, вытекающим из
вещественности [А(г, t) = А*(г, t)]:
екАйкА = е* кА6* кА, екАбкА = е* кАа* кА.
'Разложение электромагнитного поля на продольную и поперечную части
используется в одном из вариантов квантовой электродинамики. При этом
разложении поперечная часть поля квантуется - ей соответствуют частицы
(фотоны), продольная часть поля не квантуется.
582 Глава XII
Если выбрать орты, описывающие основные состояния поляризации волн с
противоположными волновыми векторами к и -к так, что
вкА = е-кА> (2)
ТО
вкА = Ь*_кА, ЬкА = а-кА 1 , ч
и г (3)
9кА(<)=акАе-1"'+а1кАе-'./ W
(4)
(5)
Напряженности поля Б, Н выражаются через координаты qk\(t):
Е = -Ц? = -L-/ ekA9kAeik'r(dk), с <71 7Tv2 J
Н = rot А = /к х ekA9kAe*k'r(dk). тгу2 J
Рассмотрим вычисление энергии электромагнитного поля W = ± j(E2+H2)(dr).
Так как Е, Н - вещественны, то можно написать: i/??(*) = i/E.E-(*) =
= ^2 ^ ///Z(r)" ' ek'A'9kA^A^i(k-k') r(dr)(dk)(dk') =
= | f У^9кА9кА((Дс)-
J A
Мы воспользовались ортогональностью ортов поляризации, принадлежащих
одному и тому же к, но разным А: ек1 • ек2 = 0, а также формулой (П
1.15). Аналогичным образом вычисляется энергия магнитного поля. Для
полной энергии электромагнитного поля получаем:
W = H ?(&аЙа + wfrkA<?A)(dk). (6)
J А
Она складывается из энергий
WkA = ^(<7kA9kA +wk9kA9kA) (7)
§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны 583
отдельных "осцилляторов поля". Энергию поля (6) можно выразить
непосредственно через коэффициенты akA> используя выражение (3):
W = 2 f^Wxa*vx{dk). (8)
J А
Аналогичным образом получаем для импульса поля выражение: G=i/ExH(dr)=8fe
/(ExH*+E*xH)(dr) =
= \ [ - Qk\Qk\)(dk). (9)
J А
Рассмотренные в этой задаче осцилляторные координаты q^A аналогичны
координатам, описывающим нормальные колебания механической системы
