Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
координат). Таким образом,
F(a - vt, д, а) = а2Яог($, а + fit)-
Следовательно, (2) запишется в виде
Нг(г, д, a, t) = ) Я0г а - ^ v°^ + fit). (4)
Таким же путем находим
И, = f НМ (0, а - (Г ~ а)П + fit),
На = f Н0а , а - (Г ~ °)П + fit). (5)
Из уравнения div Н = 0 вытекает следующая связь между проекциями
вектора Но:
618
Глава XIV
При Ноя = О находим Н$ = О,
Нос = ^ЯогЯШ? + т-,
если положить f{d) = 0, то будем иметь
На(г, д, a, t) = 9ф-Н0г а - ^ + Sit) sin д. (6)
Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетного
магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным
ветром). В модели межпланетного магнитного поля Паркера Н$ = 0, а Нг и На
даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного магнитного поля,
произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что усредненное
магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описывается моделью
Паркера.
865. Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда:
г = j^(a- а0), ?*0 = const,
в = arctg ^ " 56°; Я " 4,5 • 1(Г5 э.
866. е± = 1 4- 47Г°2^, где р - плотность плазмы. Найденное значе-Н
ние е± получается из результатов задачи 321 в предельном случае из -> 0.
7
7. U) = LJp = d -
867. из = изр = \/ 47Г^е , где тп - масса электрона.
868. При из < ujp, R = 1,
2^Л
Е = ---Ео ехр[-qz - iwt], к "I- iq
где q = | - 1, /с = Ео - амплитуда падающей волны. Глубина
проникновения J = i = с 5 и при из <С изр. Затухание поля
4 - ш1 р
вызвано не диссипацией энергии, а возникновением токов в плазме, которые
создают поле противоположного знака.
§2. Коллективные движения в плазме 619
При LJ > LJp
R = (^)2' Е = jtTJEoexp|i("2 "
где q = yju2 - u}p/c, волна распространяется в плазме без затухания.
869. Представим радиус-вектор частицы в виде
R(t) = Ro + vo^ "Ь Ri(*), (1)
где vo - скорость частицы в отсутствие поля (тепловая скорость); Ro -
радиус-вектор при t = 0; Ri (t) - добавка, обусловленная действием
электрического поля плоской волны (магнитным полем пренебрегаем, считая
частицы нерелятивистскими).
Величина Ri удовлетворяет уравнению
mRi = еЕо ехр[г(к • Ro + к • vot + к • Ri - wt)]. (2)
В показателе экспоненты можно пренебречь слагаемым к • Ri, считая
выполненным неравенство kRi < 1. В этом приближении, линейном по Ео,
решение (2), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
Е0 ехр[гк • Rp - i(u - к • v0)t]
(lj-k-v0)2 ' U
Скорость частицы выражается в виде1
v(t) = v0 + -------^------ехр[гк • Ro - i(u) - к • v0)?]. (4)
m из - к • vo
Ток, создаваемый одной частицей, начальные значения радиуса-вектора и
скорости которой равны соответственно Ro и vo, запишем в виде
ji(r,t) = ev(t)(r-R(t)), (5)
'Расходимость выражений (3) и (4) при kvo = w связана с некорректным
рассмотрением "резонансных" частиц, т.е. частиц, скорость которых
удовлетворяет условию kvo = из. Чтобы избежать этой трудности,
предположим, что в плазме отсутствуют частицы с такими скоростями, т.е.
исключим из рассмотрения интервал скоростей, удовлетворяющих неравенству
|v - vo| VQ.
Ri (t) = -
620
Глава XIV
где v(t) - скорость частицы в точке г = R(t). Для вычисления полного тока
j(r, t) нужно умножить (5) на число частиц в объеме (<fRo), обладающих
начальной скоростью vo, и проинтегрировать по всем возможным значениям
Ro, v0:
Начнем с интегрирования по координатам. Аргумент J-функции зависит от Ro
сложным образом, поэтому перейдем к новой переменной интегрирования R =
Ro + vot + Ri(Ro, t). Вычисляя якобиан преобразования с точностью до
членов, линейных по Ео, получим
После этого интегрирование по (dR) не представляет труда и проводится с
помощью формулы типа (П1.4). Подставляя под интеграл (6) выражение (7) и
пренебрегая снова слагаемыми к • Ri в показателях экспонент, получим
где Е = Еоехр[г(к • г - wt)]. Точка к • vo = lj не является особой точкой
подынтегрального выражения, так как предполагается, что /(vо) = 0 при к •
vo = lj. Поэтому можно произвести разложение по отношению vq/vv = kvo/LJ,
предполагая характерные скорости частиц малыми по сравнению с фазовой
скоростью волны. Это позволяет представить (8) в виде
j(r, t) = en J v(t)6(г - R(*))/(v0)(<fv0)(<iRo). (6)
(dR)"(l-*k-Ri)(dR). (7)
j(r ,t) = en <v o +
m(LJ - k • v0) т(ш - k • v0)2
ieE iev0(k • E)
|/(v0)(dv0), (8)
/(v0)(dv0). (9)
Предполагая, что f(vо) не зависит от углов, получим
§ 2. Коллективные движения в плазме
621
Здесь
Р (к • Е)к р р р
Ец - -р-, Е± - Е - Ец
"| = 2ж J vlf(\)vi_dvi_dv\\. (11)
В случае распределения Максвелла и| = Т/т.
Из выражения (10) находим тензор проводимости:
оЛ kakp
ine2
mui
(12)
Он является чисто мнимым, что свидетельствует об отсутствии диссипации
энергии. Вычисляя тензор диэлектрической проницаемости по формуле
?a0 = Sa0 + i(13)
будем иметь
где
. .2 47гпе
р =
т
<15)
По сравнению со случаем отсутствия теплового движения (ujj = 0) возник
новый важный эффект - зависимость е от к, пространственная дисперсия. В
связи с этим диэлектрическая проницаемость стала тензорной величиной.
