Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Закон поперечных плоских сечений не применим к крыльям специальной формы, у которых dpi dz ^ O(z0).
Применение закона поперечных плоских сечений к трехмерному пограничному слою для определения его характеристик существенно упрощает задачу, так как вместо решения трехмерных дифференциальных уравнений решаются двумерные, для которых развиты достаточно эффективные методы расчета.
Кроме того, специфическая структура системы уравнений (6.6) позволяет представить ее решение в виде ряда по малому параметру z0:
и(х9 X9 z) = и0(х, X9 z) + U1(X9 X9 z) z0 +
w(x9 X9 z) = w0(x9 X9 z) + W1(X9 X9z) z0 + ...,
v(x9 X9 z) = v0(x, X9 z) + V1(X9 X9z) z0 + ...,
g(x9 X9 z) = gQ(x9 X9 z) + g{(x9 X9 z) z0 + (6.21)
p(x9 X9 z) = p0(x, X9 z) + P1(X9 X9z) z0 + ...,
p(x, X9 z) = p0(x, X9 z) + pj(x, X9 z) z0 + ц(х, X9 z) = ц0(х, X9 z) + Ji1(X, X9 z) z0 + ....
134
Гл. 6. ТОНКОЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО
После подстановки разложений (6.21) в систему (6.6) и приравнивания нулю выражений при одинаковых степенях zg получается система двумерных уравнений n-го приближения. При анализе прикладных задач обычно ограничиваются решением в нулевом и первом приближениях, поскольку с ростом номера приближения возрастает объем вычислений. Применимость приближенного решения задачи с анализом некоторых особенностей этого подхода будет рассмотрена ниже на примере частных конфигураций тонкого крыла.
ГЛАВА 7
КРЫЛЬЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Выше были получены уравнения, описывающие течение совершенного газа в ламинарном взаимодействующем пространственном пограничном слое на поверхности тонкого крыла произвольной формы. Эти уравнения являются существенно трехмерными, и их численный анализ сопряжен с большими трудностями вычислительного характера. Для частного случая крыльев малого удлинения (z0«l) решение задачи может быть представлено в виде функционального ряда по малому параметру; в результате этого решение задачи сводится к интегрированию систем двумерных уравнений.
В рамках классического пограничного слоя уравнения трехмерного пограничного слоя для частных классов тел сводятся к двумерным уравнениям, например, при коническом внешнем течении. Аналогичным образом и в случае взаимодействующего пограничного слоя при определенных условиях трехмерная задача сводится к интегрированию системы двумерных уравнений (автомодельное решение). Такого класса течения будут рассмотрены в гл. 8.
В настоящей главе устанавливается условие существования авто-модельности течения в гиперзвуковом невзаимодействующем пограничном слое (xi = 0) и исследуются особенности поведения автомодельного решения в зависимости от определяющих параметров задачи. Полученные автомодельные решения позволяют установить условия применимости и точность приближенного решения задачи в виде ряда по малому параметру.
Знание всех этих особенностей дает основу для анализа существования автомодельное™ течения и его особенностям в случае взаимодействующего пограничного слоя.
Первые теоретические исследования пространственного течения в гиперзвуковом пограничном слое на треугольных крыльях, по-видимому, были проведены в работах [Ладыженский М. Д., 1964, 1965], в которых также не учитывалось вязкое взаимодействие. В результате, как правило, нарушалось условие непротекания в плоскости симметрии крыла.
136 Гл. 7. КРЫЛЬЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
где zc — координата передней кромки, m, I — параметры формы крыла.
Для исследования обтекания тонких крыльев степенной формы (7.1) удобно ввести переменные
Заметим, что согласно (7Л) и (6.14) при X1 = O р* является функцией только z*. При наличии угла атаки сс° давление определяется согласно (6.20), тогда с учетом (7.1) следует, что р* является функцией z* их*.
Рассмотрим теперь по отдельности краевые задачи для крыла под нулевым и малым углом атаки.
7.1.1. Нулевой угол атаки. При отсутствии вязкого взаимодействия (Xi = 0) краевая задача (6.6), (6.7), (6.14) в переменных (7.2) принимает вид
zc = х«, 6W = x/Aw(z/zc),
(7.1)
х = х*, z = xwz*, X = xkX\ Ц=Ц*,
U = U*, W = MJ*, v& = xnv*, g= g>, p = xW-l)p\ p = x2(/-l)p*,
n = (21 - m - 2)/2, k=(2l + m- 2)/2.
(7.2)
ax* + a** + 2°* V* ax
» dtt* , „ ам* . .-,-і * ( * du*
v*— + w*— +Z0X^-1U* X* — ax* az* ^ \ ax*
§7.1. Постановка краевой задачи
Рассмотрим обтекание тонких крыльев степенной формы:
§7.1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
137
=М>А™-^^]}; (7-3)
^(z')=ITi[/Aw^)-mz-^]2
(7.4)
(7.5)
с граничными условиями
иг = w* = v* = 0, g* = & при А.* = О,
ад* —>0, ?*—*1 при X*-*оо.
При m = 1 (треугольное в плане крыло) координата х* выпадает из указанной системы уравнений и краевая задача (7.3)-(7.5) допускает автомодельное решение, которое описывается двумерной системой уравнений
(V - kz0u'X') ^=(W-z0u-z-) |? =
= -о ? (Г - «" - [2(/ - DP- Г + і (*V 5) ,
(V - kz0u-\-) ^+(W- z0u-z-) ? =
— ^CT-+ (7.6)
^ = 0,
(V - kz0u-\-) % + (w-- Z0Wz-) |f =
_ a f . .fl Bg- l-Pr 3(u,2 + a»,2)1|.
