Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Для тонких крыльев с относительной толщиной х, поверхность которых имеет гладкую форму с непрерывными главными кривизнами и их производными, главные радиусы кривизны имеют порядок 0(LIx9 Z0L/х) [Бронштейн И. H., Семендяев К. А., 1973]. В этом случае в уравнениях импульсов системы (0.1) можно пренебречь членами пропорциональными, K2 = (1/Ti1A2)Oh1ZdK]9 K1 = (\/h{h^)dh2/d\9 так как K19 K2 являются локальными кривизнами линий ? = const и т) = const и имеют порядок 0(x/L9 x/z0L).
Температура газа внутри пограничного слоя имеет порядок температуры торможения T0 [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962], тогда из уравнения состояния с учетом (5.5) получаем оценку для
124
Гл. 5. РАЗЛИЧНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
ПЛОТНОСТИ
+ *)2ттїдшг(г + 6)2' (5л)
где -у — отношение удельных теплоємкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.
При оценке скорости поперечного течения W0 [Дудин Г. H., Ней-ланд В. Я., 1976, 1977], направленного вдоль размаха крыла, необходимо учитывать, что в невязкой части течения этот компонент скорости мал (5.6), а в пограничном слое порождается только градиентом давления в этом направлении (если пренебречь членами, пропорциональными кривизнам K1, K2). Тоща из уравнения поперечного импульса системы (0.1) следует
u_dw , w_dw__LM+ (5.8)
Используя (5.5) и (5.7), а также оценку для продольного компонента скорости возмущенного течения U^u00 [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962] и рассматривая случай, когда коэффициенты Ламе A1, A2^ 1, из (5.8) получаем
.W2 Р„ М2 ul
u„w +--—----. (5.9)
Следовательно, w/U00 ^ I при Z0^ 0(1).
Заметим, что при z0 » 1 все члены (5.9) имеют одинаковый порядок, однако при z0 « 1 (крыло малого удлинения) первый член оказывается по порядку меньше двух других. Большая величина скорости поперечного течения внутри пограничного слоя объясняется малыми значениями плотности газа. Полезно вспомнить, что тот же по порядку величины градиент давления др/дк\ в невязкой части течения, где плотность велика, вызывает лишь малые поперечные скорости, которые имеют порядок U00X2Iz0 [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962].
Переходя к рассмотрению случая крыла малого удлинения (Z0« 1) и учитывая (5.9), замечаем, что во всех уравнениях пограничного слоя (0.1) члены, содержащие производные по \, оказываются при z0« 1 малыми:
u**zw±-t B2U^e2W (5.10)
Это обстоятельство позволяет свести уравнения трехмерного пограничного слоя к двумерным, как будет показано ниже.
Заметим, что при нарушении основного условия (5.5) согласно [Рубан А. И., Сычев В. В., 1973] скорости поперечного течения ма-
§ 5.3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
125
лы: MVh00-M00(O + x)/z0, и при z0-[M00(t + 6)]1/2 уравнения пограничного слоя остаются трехмерными. Однако для z0 « «[M00(x + 6)]1/2 уравнения задачи [Рубан А. И., Сычев В. В., 1973] также вырождаются в двумерные. Некоторые вопросы, связанные с обтеканием гиперзвуковым потоком крыльев малого удлинения, рассмотрены в работе [Королев Г. Л., 1980]
Важно отметить, что приведенные выше оценки не предполагают ламинарности течения и не опираются на какие-либо допущения о соотношении характерных толщин крыла и пограничного слоя. Поэтому они справедливы при выполнении условия (5.5) для всех режимов взаимодействия от слабого до сильного.
Для рассматриваемого типа течения в ламинарном пограничном слое интенсивность взаимодействия, очевидно, определяется величиной параметра
»-7B» (5Л1)
характеризующего отношение толщины пограничного слоя к толщине крыла. Действительно, исходя из равенства порядков главных членов продольного уравнения импульса, а также учитывая (5.7), легко получить в общем случае оценку для 6:
6-(x2 + Re-i/2)i/2-t = Re-i/* (^2 + 1) ^^]- (5Л2)
Формула (5.12) имеет место для режима умеренного взаимодействия (W-O(I)). Для предельных режимов сильного (N-+ «>) и слабого (N-+Q) взаимодействия она упрощается и принимает вид
o—Re~1/4 при N—* оо,
0-//Re-"4-т-1 Re-"2 при N-+0.
ГЛАВА 6
ТОНКОЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО
При анализе обтекания тонких крыльев гиперзвуковым потоком газа всюду предполагается, что газ является совершенным, т. е. он подчиняется уравнению состояния Клапейрона, имеет постоянные удельные теплоемкости (показатель адиабаты 7 = const), постоянное число Прандтля Pr = const и динамическую вязкость, изменяющуюся в зависимости от температуры по степенному закону \l~T<° (0,5 ^ со ^ 1).
§6.1. Полубесконечное крыло под нулевым углом атаки
Для решения задачи вводится декартова система координат (рис. 6.1), в которой ось х° направлена вдоль вектора скорости набегающего
Рис. 6.1
потока u„j ось z° — вдоль размаха крыла. Компоненты вектора скорости и0, V0, w° направлены соответственно вдоль х°, у0, z°. Форма крыла задана уравнением
y° = oo(xO,zO). (6.1)
Задача по обтеканию крыла (6.1) гиперзвуковым потоком решается асимптотическими методами на основе двухслойной схемы течения.
6.1.1. Внутренняя область течения. Течение совершенного газа во внутренней области описывается системой уравнений Прандтля, ко-
§ 6.1. ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО ПОД НУЛЕВЫМ УГЛОМ АТАКИ
