Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
наличии свойства устойчивости в целом.
Рассмотрим теперь вопрос с более общей точки зрения.
Наряду с линейной системой
dxl
~dt
dxi
dt
- 2i aikXk bxi,
A=1
n
= 2l aikxk' i==2' ¦¦¦' n'
k=\
(13.3)
рассмотрим нелинейную систему
П
2 "1Л + /(4
dxt ~dt :
dxi
dt
1 = 2, ..., n, f{0) = 0.
k- 1
(13.4)
Пусть нам известно, что нулевое решение системы (13.3) асимптотически
устойчиво для всех Ь, удовлетворяющих усло-6И1°
ПРОБЛЕМА АЙЗЕРМАНА
49
Будет ли нулевое решение системы (13.4) устойчивым в целом, если
выполнено условие
(13.5)
Л1
Иными словами, если график кривой у-/(х) расположен между прямыми у -ах и
_у = (3лг (рис. 3), то достаточно ли этого для обеспечения устойчивости в
целом нулевого реше-
ния системы (13.4)? Эта проблема была сформулирована впервые М. А.
Айзерманом [12] и явилась источником многочисленных исследований
математиков и механиков.
Первый пример, показывающий, что выполнения обобщенного условия (13.5)
недостаточно для наличия устойчивости в целом, в случае системы двух
уравнений построил Н. Н. Кра-совский [13].
В. А. Плисс [14] провел глубокие исследования системы третьего порядка
и показал, что выполнение условия (13.5) даже в б^лее жесткой форме, т.
е. в форме
где "!><*, р,<р,
Л1
Может не обеспечить устойчивости в целом,
50
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
Ниже мы приводим примеры на исследование устойчивости в целом нелинейных
систем. Эти примеры так или иначе связаны с проблемой Айзермана. Однако
отметим, что наиболее интересным моментом при изложении примеров является
демонстрация функций Ляпунова для нелинейных систем.
§ 14. Примеры
Пример 1 (И. Г. Малкин [15], Н. П. Еругин [16]). На ряду с системой
х - ах by,
рассмотрим систему
(14-1)
р = сх -|- dy,
*=т+ъ, I (142)
у = сх dy. )
Используя результаты § 9, построим для системы (14.1) функцию Ляпунова в
виде квадратичной формы, исходя из условия
it = - 2 (a-\-d) (be - ad) х3.
Полагая v = ах2 2$ху -(- fу3, легко найдем неопределенные
коэффициенты а, р, f. В результате выкладок получим функцию
v - (dx - by)- -|- adx* - hex-. (14.3)
Условия Рауза-Гурвица для системы (14.1) имеют вид a-\-d<^ 0, ad-be 0,
очевидно, что эти условия обеспечивают знакоопределенность функции v и
знакоотрицатель-ность i).
Беря за основу функцию (14.3), построим теперь функцию Ляпунова для
системы (14.2). Система (14.2) отличается от системы (14.1) тем, что
вместо функции ах стоит нелинейная функция f(x). В выражении (14.3)
коэффициент а комбинируется с х2. Если рассматривать выражение ах3 как
удвоен-
X
ный интеграл ^ ах dx, то естественной кажется мысль принять о
по аналогии в качестве функции Ляпунова для системы (14.2)
ПРИМЕРЫ
51
функцию
X
и - (dx - byf -)-2d^f (лг)dx - bcxa. (14.4)
о
Беря производную функции и, в силу системы (14.2) получим
Так как и = (dx - by)2 -)- 2 \ {df (х) - bcx) dx, то условие
о
знакоопределенности функции и имеет вид
обеспечивает знакоотрицательность к. Очевидно, множество лг = 0, где й =
0, не содержит целых траекторий. Чтобы функция и была бесконечно большой,
достаточно потребовать выполнения условия
Условия а), Ь), с) обеспечивают на основании теоремы 12.2 устойчивость в
целом нулевого решения системы (14.2).
Красовский Н. Н. [13] показал, что невыполнение условия (с) может повести
к потере свойства устойчивости при любых начальных возмущениях.
Наряду с системой (14.1) рассмотрим далее систему (Н. Н. Красовский [17])
X
a) d - Ьс^> 0 при х Ф 0.
Условие (а) вместе с условием
Ь) -|- d 0 при х ф 0
X
с) ^ [d / (-*0 - bcx] dx ->¦ оо при | х | оо.
о
x=f(x)-]rby, 1 р = <?(х)+dy. I Беря функцию Ляпунова в виде
(14.5)
X
v = (dx - by)2 + 2 ^ [df(x) - by (х)] dx
о
и учитывая, что в силу системы (14.5) будем иметь
52
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. t
получим достаточные условия устойчивости в целом в виде
a) (Ру(х)- df(x))x^> О при х ф О,
b) - ^ -|-d<^0 при х ф О,
X
c) \ [df (х) - бср (х)] dx -> со при | X | -> со.
о
Пример 2 (Е. А. Барбашин [6]). Рассмотрим уравнение •К+ ?(¦*) + ?(•*)/0*0
= °> (14.6)
эквивалентное системе х=у,
S>= - g(y)f(x) - <?(у).
Используем для построения функции Ляпунова метод деления переменных [18].
Будем искать функцию v в виде v = F (х) -f- Ф (у). Имеем в силу системы
(14.7)
v = F' (х)у - Ф' (у) [g(y)f(x) -f ср (_у)].
Потребуем теперь, чтобы v имела такую же структуру, что и функция v, т.
е. потребуем тождественного выполнения условия
F (х) у - Ф' (у) g (у)/ (х) = 0.
Деля переменные, получим
F'(x) _ Ф 'jy)g(y) fix) У
что может иметь место, если каждое из выражений в обоих сторонах
равенства является постоянным, например, равным 1. Отсюда сразу следует,
что
F(x)= J f\x)dx, (r)(j>) = о о
т. е.
" = 1 т"х+{ш " 4 =
о о
(14.7)
ПРИМЕРЫ
53
Условия устойчивости нулевого решения запишутся в виде
a) /(х)х^>0 при х ф О,
b) ?00>0 при уф О,
c) <рООУ> 0 при уф О,
X
d) J f(x)dx-+со при | х | -> со, о
e) ^ со при \у | -> оо.
о
Пример 3. В уравнении
*Р (х) "Ь/(-*0 - о> проведя замену переменной (замену Лиэнара)
