Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. 1
Если выбрать такую окрестность, в которой то получим требуемое
неравенство
П
(r)'+2^гАГ,<'° ПРИ Г^°' г= 1
Если w 0, то получим
П
w + 2 MiXi ^ ^pl ~ ААпГа) г* > о при г ф О,
i - 1
если только ЛАлг!1<[р1.
Теорема 11.1 (теорема об устойчивости по первому приближению). Если корни
характеристического уравнения системы первого приближения имеют
отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (11.1)
асимптотически устойчиво.
В самом деле, согласно теореме 9.1 существует определенно положительная
квадратичная форма v, производная которой в силу системы (11.2) равна -
rs. Производная
dtf
функции v в силу системы (11.1) имеет вид ^ = - r2-i"
П
-(- ^ и согласно лемме 11.1 будет также опреде-
i = 1
ленно отрицательной. Асимптотическая устойчивость теперь следует из
теоремы 4.2.
Теорема 11.2 (теорема о неустойчивости по первому приближению). Если
среди корней характеристического уравнения системы первого приближения
имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое
решение системы (11.1) неустойчиво.
По теореме 9.3 существует квадратичная форма v, принимающая положительные
значения и удовлетворяющая соотношению
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
43
где ^ означает производную функции v, взятую в силу системы (i 1.2). Беря
производную функции v, в силу системы (11.1) получим
п
dv , , , V dv v
i= 1
n
но из леммы 11.1 следует, что г9-)- ^ Xt будет опре-
i = 1
деленно положительной функцией. Неустойчивость теперь вытекает из теоремы
6.2.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Рассмотрим уравнение колебаний маятника
х -|- ах -j- b sin х = 0.
Ему соответствует система
Jc = y, р= - b sin х - ay. (11-4)
Особые точки этой системы имеют координаты х = кк (k - любое целое
число), у = 0. Используя разложение
Xs ,
Sin X = X - gj-... ,
запишем систему первого приближения
х = у, у - -Ьх - ау, (11-5)
характеристическое уравнение которой имеет вид
Если а 0, b 0, то корни имеют отрицательные вещественные части, и нулевое
положение равновесия будет устойчивым по первому приближению.
Исследуем теперь на устойчивость точку (it, 0). Используя разложение
Г ч I (jf - л)8
sm лг = - (х - 0-р --3! -
запишем систему первого приближения:
х -у, р - Ь{х - тс) - ау.
44
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
(ГЛ. I
Перенося начало координат в точку х = т, у = О, получим систему
х =у, $ = Ьх - ау.
Характеристическое уравнение имеет в данном случае вид
X2 + dk - Ь = 0.
При а 0, b 0 корни этого уравнения будут вещественными различных знаков,
следовательно, точка (л, 0) является неустойчивой точкой.
2. Рассмотрим теперь уравнение маятника, к которому приложен вращающий
момент (см. § 7):
х -|- ах -|- b sin х = L. (11-6)
Рассмотрим случай, когда | L | Ь. В этом случае можно положить L - b sin
х0, и уравнение (11.6) примет вид системы
х=у, р = - 6(sinx-sin х0)- ау. (П.7)
Особые точки определятся уравнениями у - 0, sin х= sin х0, следовательно,
координаты Х0, К" особых точек будут иметь вид
^o = (- l)**o + kiz, F0 = 0, k = 0, 1, 2, ...
Используя разложение sin х в ряд Тейлора в окрестности точки А'о, запишем
систему первого приближения:
А-у, у = - b cos Ха (х - Ха)-~ау. (11.8)
После переноса начала координат в точку х = Хл, у = 0 получим систему
Х= Y, У= -b cos X0X - aY.
Характеристическое уравнение X2 -|- аХ -|- b cos Х$ = 0 этой системы
имеет корни с отрицательными вещественными частями, если а 0, b cos vY0
0- Если обусловлено, что а 0 и b 0, то условие устойчивости будет иметь
вид cos Хй 0.
3. Рассмотрим систему
х-у - ху9, у= -х3. (11.9)
Система первого приближения имеет вид х=у, _р = 0, откуда следует _у=_у0,
х=у^ хй. Таким образом, нулевое решение системы первого приближения
неустойчиво. Однако так как оба корня характеристического уравнения равны
нулю,
УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ
45
то мы не можем на основании теоремы 11.2 сделать вывод
о неустойчивости нулевого решения системы (11.9). Более того, нулевое
решение полной системы будет даже асимптотически устойчивым. В самом
деле, производная функции
Ляпунова г> = ^-лг2 -J- ^У3 в силу системы (11.9) имеет вид
v = - лг*у3 и, следовательно, будет знакоотрицательной. Легко убедиться,
что координатные оси лг = О, у = О, на которых функция v обращается в
нуль, не содержат целых траекторий, за исключением нулевого положения
равновесия. Таким образом, здесь можно применить теорему 5.2, из которой
следует асимптотическая устойчивость.
§ 12. Устойчивость в целом
Рассмотрим систему
(12-1)
при условии Л'(0) = 0.
Определение 12.1. Нулевое решение системы (12.1) называется устойчивым в
целом (или устойчивым при любых начальных возмущениях), если оно
устойчиво в смысле Ляпунова и если всякое другое решение x(t) системы
обладает свойством || лг (t) || -"- 0 при t-+oo.
Функцию Ляпунова v назовем бесконечно большой, если для любого
положительного числа А существует положи-
П
тельное число R такое, что вне сферы 2 •*:? = /? имеет ме-
г = 1
сто неравенство v^> А.