Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, силы трения покоя имеют наибольшие значения, равные
соответственно /чР1 = [хЛЛ и /гтр2 = рАг2, а также знаки моментов,
составляем уравнение моментов:
Из полученного уравнения мы не можем найти угол наклона, поэтому нужно
составить уравнение равновесия для проекций.
Проведем оси координат Ох и Оу, как показано на рисунке, и, посколбку все
силы направлены по этим осям, записываем уравнение равновесия ящика в
проекциях: на ось Ох:
Составив уравнения равновесия (1) - (3) и решая их совместно относительно
искомого неизвестного а - минимального угла наклона ящика к горизонту,
получим:
Максимальный угол, под которым может стоять ящик, равен, очевидно, л/4;
таким образом, -
N\ - [хЛ/г = 0;
(2)
на ось Оу:
H.N 1 - mg + N2 = 0.
(3)
arctg
1 -f- 2ц
129
Пример 3. Пять шаров, массы которых равны соответственно т, 2т, 3т, Ат и
5т, укреплены на стержне так, что их центры находятся на расстоянии I
друг от друга. Пренебрегая массой стержня, найдите центр тяжести системы.
Решение. В основе решения задач на определение центра тяжести системы
материальных точек (системы тел с известным положением центра тяжести
каждого тела) лежит следующее обстоятельство. Если в центре тяжести
системы частиц, жестко связанных друг с другом, приложить вертикально
вверх уравновешивающую силу F, равную по модулю силе тяжести всех частиц,
то система будет находиться в равновесии. Сумма моментов всех сил
(включая, конечно, и уравновешивающую силу) должна в этом случае
равняться нулю относительно любой точки.
Пусть массы частиц системы равны т0, т\, ..., тп и положение центра
тяжести мы будем отсчитывать по горизонтали (ось Ох) от центра тяжести
крайней левой частицы (рис. 4.3, а). Тогда расстояние от точки О до линии
действия уравновешивающей силы - координату хс центра тяжести системы
можно найти из уравнения моментов, составленного относительно точки О:
где х\, хо и т. д.- плечи сил m\g, m-ig, ..., mng относительно центра
тяжести левой частицы. Подставляя в это уравнение вместо модуля
уравновешивающей силы его выражение F = mog + + m\g + ... + mng и решая
уравнение относительно хс, получим:
m0g • 0 + m{gx\ + ... + m"gxn - Fxc = О,
Ш\Х\ -f- т2х2 ... т"х"
т0 + т\ + ... + т"
, или, короче,
п п
2 m,Xi 2 т'х'
М
F
где т-, и Xi - масса и координата г-й частицы; М - масса всех частиц.
Аналогично находится ус -¦ координата центра тяжести системы материальных
точек по оси Оу.
т 2т Зт ^
а
Полученные выражения для хс и ус являются одними из основных формул
механики, позволяющими определить координаты центра тяжести системы
материальных точек на плоскости.
Рис. 4.3
5
Решение нашей задачи основано на только что полученном результате.
Сделав чертеж (рис. 4.3, б), расставляем все силы, действующие на
систему.
.Выбираем точку отсчета О в центре первого шара и на произвольном от нее
расстоянии х мысленно прикладываем _к стержню уравновешивающую силу F,
модуль которой равен модулю силы тяжести, действующей на всю систему:
F = mg + 2 mg + 3 mg + 4 mg + 5 mg.
Находим плечи всех сил относительно О. Они равны соответственно 0, /, 21,
31 и 4/.
По формуле (4.5) определяем положение центра тяжести:
х 2ml -f- 3m • 21 -{- 4т • 3/ + 5т • 4/ _8_ ^
т + 2т + 3 т + 4 т + Ът 3
Пример 4. Определите положение центра тяжести однородной квадратной
пластинки со стороной а, в которой вырезано круглое отверстие радиусом
а/4 так, как показано на рисунке 4.4.
Решение. На примере задачи мы рассмотрим, как определяется положение
центра тяжести однородных плоских фигур, имеющих вырез. Элементарными
методами эти задачи решаются лишь 'при условии, что положение центра
тяжести целой фигуры и центра тяжести вырезанной части известно.
В задачах этого типа фигуру с вырезом желательно изобра- 1 зить так,
чтобы ось симметрии была горизонтальна. В основе вывода расчетного
соотношения лежит следующее обстоятельство, имеющее общий характер. Если
вставить вырезанную часть пластинки на прежнее место, то силу тяжести
всего тела, равную mg (в данной задаче квадрата), можно представить как
сумму двух параллельных сил - силы тяжести вырезанной части (диска),
равной mBg, и силы тяжести оставшейся фигуры (квадрата с отверстием),
равной mog. Первая из этих сил приложена в центре тяжести невырезанной
фигуры (квадрата), вторая - в центре тяжести вырезанной части (круга),
третья - в неизвестном пока центре тяжести пластинки с отверстием. Если
известны равнодействующая сила (mg), одна из параллельных сил (mBg) и
расстояние / между линиями действия этих сил, легко определить положение
линии действия второй силы (m0g), а следовательно, и расстояние х между
центрами тяжести вырезанной и целой фигур. Действительно, относительно
точки О должно быть
mogx = mBgl или (т - тв) х = тв1, так как модуль силы тяжести оставшейся
части фигуры равен:
m0g == mg - mBg.
131
Из предыдущего равенства находим
или окончательно:
т в1
г - тв
S-S
в
/,
поскольку масса однородной пластинки одинаковой толщины h равна: m = QhS,
