Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя выражение (3.14) для da и функцию распределения /(P1, T1) в уравнение (3.4), найдем
^f (pi, T1) і pi a/(pi, г,)
dt ' тге Hlr1
If (Pv rO /(Pi- r2> —/(Pi- г.)/(Р2> г2)]Х
X P-BdBd^dp2. (3.16)
Это уравнение носит название кинетического уравнения. Оно впервые было получено Больцманом путем следующих рассуждений: в единицу времени из элемента фазового пространства вблизи P1 вследствие столкновений выводится /^p1 частиц. Но за тот же промежуток времени в этот элемент фазового объема поступают частицы из других элементов со скоростью, определяемой вторым членом правой части равенства (3.15). НЕОБРАТИМОСТЬ
31
3.3. Уравнение Фоккера — Планка1)
Если плотность жидкости настолько высока, что частицы все время остаются в пределах поля сил взаимодействия со своими соседями, то понятие столкновений теряет силу. С другой стороны, среднее изменение импульса в единицу времени должно быть при этом невелико по сравнению с абсолютным значением самого среднего импульса.
Эти предположения позволяют придать правой части уравнения (3.2) относительно простой вид. В то время как одиночная частица (или пара соседних частиц) подвергается случайным столкновениям, связанным с движением ее соседей, влияние этой частицы на соседние будет незначительным; это следует из того, что состояние движения частицы или пары частиц в некоторый момент времени не зависит от состояния движения в другой момент.
Движение частиц можно, следовательно, описывать как случайный процесс. Математически это предположение формулируется постулированием следующего соотношения:
(F1^-OFi(O)p ...г =O для t'> т. (3.16)
2 N
Здесь сила, действующая на частицу, обозначена через Fy — ——<ЭФ/дгу. Использование этой корреляционной функции поясняется в разд. 9.1.
Согласно уравнению (3.16), силы в различные моменты времени статистически независимы, если превышено время корреляции т. Это утверждение следует рассматривать как гипотезу, но предполагается, что оно может быть выведено из уравнений движения. Имеет смысл рассмотреть следствия уравнения (3.16), так как этого постулата достаточно для показа необратимой природы приближения к равновесному состоянию.
Функцию распределения /W можно формально записать в виде произведения
/(Л0(«-1 ••• Рлг) = *=/(1)CPi. rOfW-Ъ 1HP2 ... PN, T2... tn; Tv P1), (3.17)
') См., например, [63] и дополнительную литературу [23, 30]. — Прим. перев. 32
ГЛАВА III
где второй множитель представляет собой условное распределение по динамическим переменным N—1 частиц при фиксированном значении координат и импульса одной частицы.
Предполагается, что условная вероятность очень слабо зависит от значений P1 и гх. В соответствии с этим предположением функция распределения имеет вид равновесного распределения, зависящего от времени только через временную зависимость импульса P1:
= (3.18)
Подставляя (3.17) и (3.18) в правую часть уравнения (3.2) и полагая я = 1, получим
- /(1) + f /(1) (Р, - Ap1, .. .)/<"-';" dp2... drN.
Левая часть уравнения (3.2) при тепловом равновесии обращается в нуль, a /(1) при я—1 можно заменить на /W. Интегрирование в правой части проводится в первую очередь по тем фазовым подпространствам, в которых Ap1 постоянно:
tV dt т ' дії
= -/(1)+JV(1)( Pi-API. rI' О W (дРі) d (Ap1). (3.19)
Здесь IV(Ap1) — фазовый объем тех подпространств, где Ap1 = Const; поэтому W — неотрицательная функция, которую можно интерпретировать как вероятность.
Можно показать, что J Wd (Ap1) = 1. Фактического определения функции W можно избежать, используя соответствующие средние величины.
Согласно (3.16), интеграл по времени от автокорреляционной функции межмолекулярного взаимодействия не зави- НЕОБРАТИМОСТЬ
33
сит от времени и мы можем ввести постоянную трения
с помощью выражения *
ь = 1Шг /(FiС+ ''>-F1 (0>ра...ГлгЛ'. (3-2°)
t — T
Постоянная трения не зависит от времени, хотя может зависеть от импульса. Приращение импульса равно
t
Ap1= / FlClt.
t—z
Среднее и средний квадрат приращения импульса можно выразить через постоянную трения:
<Др1>Ра... r^-apiT. (3.21)
(|(ДРі)і2>р2 ... rN = 2bmkTi. (3.22)
Эти величины пропорциональны Xj тогда как более высокие степени пропорциональны т2 или даже имеют еще меньшую величину и, следовательно, ими можно пренебречь.
Разложим теперь выражение, стоящее под знаком интеграла в (3.19), по степеням Ap1 так, чтобы результат интегрирования можно было представить через средние значения степеней. По (3.21) и (3.22) получаем следующее уравнение:
где /(1) можно толковать как одночастичную функцию распределения изображающей частицы.
Известно, что уравнения, подобные соотношению (3.23), называемому уравнением Фоккера — Планка, применяются для описания диффузионных процессов. Это говорит о том, что уравнениями такого рода определяется необратимая природа приближения к равновесию.
Термин „постоянная трения", введенный для величины, определяемой по уравнению (3.20), объясняется соотношением (3.21), из которого ясно, что Ъ определяет действующую на движущуюся частицу силу, пропорциональную скорости частицы и направленную противоположно ее движению.
