Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
с = а • T1. 4.3)
Функцию распределения можно записать в виде
/ = [l+(a:w)l/0. (4.4)
где W — неизвестная (тензорная) функция импульса pt, определяемая подстановкой (4.4) в (3.15). Если величина а достаточно мала, то отклонения от равновесия будут небольшими, но в большинстве случаев зависящими от времени. Однако, если все члены с квадратами и более высокими степенями а 38
ГЛАВА III
опустить, мы получим неоднородное линейное уравнение для W. которое дает независимое от времени решение
¦Ш [a : (P1Pi ~ J ft )]=~~ a : f /0(р2> Ц) [w (pj) +
+ w (P1') — W (P2) - W (P1)] Р_в dB rf? rfp2. (4.5)
В этом уравнении второй член в левой части введен для того, чтобы удовлетворить условию (4.2).
Аналогичным образом для постоянного градиента температуры (равного &Т0) температура и плотность будут линейными функциями координат. Предполагая, что давление однородно и что соотношение между давлением, плотностью и температурой соответствует локальному равновесию:
7=7-,,(1+a-T1). (4.6)
P = P0Cl — a- T1), (4.7)
мы можем записать функцию распределения в виде
/ = (1+ a-W)/0< (4.8)
где W — неизвестная (векторная) функция от P1, определяемая подстановкой (4.8) в (3.15). Если а достаточно мало, то отклонение от равновесия невелико, но в общем случае зависит от времени. Если, однако, отбросить все члены второго порядка и с более высокими степенями а, мы получим неоднородное линейное уравнение для w, которое имеет независимое от времени решение
*'(шг—|)р.=-а'//о(Р2. r2)[w(p2) +
+ W (Р;) - W (P2) - W (P1)] p_Bd? dp dp2, (4.9)
где T написано вместо T0.
Стационарные неравновесные функции распределения получаются из решений уравнений (4.5) и (4.9). При выводе этих распределений мы используем тензорные обозначения, которые в конечном итоге не более сложны, чем координатная запись, Jio делают вывод гораздо более ясным. ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ 36
4.2. Методика вычислений
Уравнения (4.5) и (4.9) должны удовлетворяться для любой составляющей вектора или тензора, поскольку в пространстве нет преимущественного направления; это дает возможность упростить уравнения:
^w (piPi - її ) = ¦- І I h (P2) [w (РЗ + W (Pl) -
-W(P2)- W (P1)] р В dBd$dp2, (4.10)
( Шт'-1) Pr-- / U (P2) [w (P2)H- W ДО -
-W(P2)- W (V1)] р BdBd^dpv (4.11)
Эти уравнения в компактной форме выражают систему из пяти или трех уравнений для такого же числа неизвестных функций, причем каждая функция зависит от трех составляющих импульса как независимых переменных. Число переменных как независимых, так и зависимых заметно уменьшается при введении эмпирического предположения относительно угловой зависимости неизвестных функций. В справедливости такого предположения можно убедиться, подставляя полученные решения в уравнения и проверяя, удовлетворяются ли они этими решениями для любого тензора а или соответственно вектора а. В соответствии с этим мы принимаем, что неизвестные функции зависят от углов так же, как и левая часть решаемого уравнения. Таким образом,
w (Pi) = [pIpI— "J W ] °с (Pi)' (4-12>
где Gc и Qt — теперь единственные неизвестные функции; они скалярны и зависят от одной скалярной переменной.
Для определения этих функций аналитические методы непригодны, а численные методы не позволяют уяснить общих свойств полученных результатов. Ниже дано приближенное решение этих уравнений частично аналитическим методом. Этот метод заключается в замене неизвестных функций Oc и Ot константами, которые подбираются таким образом, чтобы 40
ГЛАВА III
обеспечить наилучшее приближение для значений потока импульса или энергии.
Умножим обе части уравнения (4.10) на (P1P1)ZotPlMPi. а (4.11) — на pi(^py2mkT^f0^p1^dpv Интегрированием по ^p1 мы получим среднее взвешенное от наших уравнений, причем их левые части становятся равными
Эти выражения пропорциональны соответственно потокам импульса и энергии, что следует из уравнений (1.11) и (1.13) (где вторые слагаемые в правых частях малы в случае газов), а также из уравнений (4.12) и (4.13) и из предположения, что Gc и Ot должны быть постоянными. Интегрирование в правых частях осуществимо, так как pj и р'у согласно (3.9)—(3.11), выражаются как функции P1, р2, В и ?. После интегрирования уравнения разрешаются относительно Gc и Gr. Полученные решения дают для потоков импульса и энергии, вычисленных на основании левой части равенств (4.10) и (4.11), очень близкие значения по сравнению с полученными согласно правой части этих равенств.
Этот вывод приближенно неравновесного распределения должен, вообще говоря, соответствовать точности, с которой известны необходимые опытные данные. Если же требуется большая точность, то ее можно достигнуть с помощью предположения, что Gc и Gt являются полиномами невысокого порядка от Pv Коэффициенты разложения и в этом случае получаются методом наилучшего приближения. С другой стороны, для повышения точности можно избрать и численный метод.
Приближенный вывод имеет ряд особенностей и будет описан в следующем разделе.
4.3. Определение коэффициентов переноса
