Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
где d — толщина пленки. В плоскости (ХУ) пленки будем считать, что U(х, у) = const.
Одноэлектронные нормированные волновые функции и энергетический спектр носителей тока для заданного распределения потенциала имеют вид
где т — эффективная масса носителей тока, Li и Ьг — соответствующие размеры основной области пленки в плоскости (ху), п = 1, 2, 3, ...— размерное квантовое число.
Видно, что состояния электрона проводимости определяются тремя квантовыми числами (тг, кх, ку), одно из которых п принимает дискретные положительные значения. Энергетический
ми [70, 71].
(26.1)
1/2
295" спектр, согласно (26.3), разбивается на отдельные перекрывающиеся двумерные подзоны єп = єп(кх, kv), соответствующие фиксированным значениям п. Три такие подзоны схематически показаны на рис. 36. Движение электрона в двумерном k-пространстве (кх, ку) непрерывно, а по третьему направлению (Zcz) движение или запрещено (га = 1) или ограниченно — двумерный электрон.
Отличительной особенностью спектра в пленке является также наличие конечной минимальной энергии
B1 == в (и = 1, кх = ку =. 0) = (A72т) {jifdf
(26.4)
(п.кх,ку)
Рис. 36. Частично квантованный спектр носителей тока в тонкой пленке
в соответствии с принципом неопределенности.
Отметим, что дискретному квантовому числу п можно сопоставить разрешенные значения абсолютной величины z-компо-ненты волнового, вектора [ZczI = (n/d)n. Тогда можно говорить о распределении квантовых состояний в k-пространстве, которое показано на рис. 37. Видно, что объем кгпространства, ограниченный замкнутой изоэнергетической поверхностью данной энергии е, в случае пленки разбивается на ряд сечений, соответствующих фиксированным значениям п.
Теперь определим плотность состояний в квантованной пленке. Суммируя по всем значенням квантовых чисел п, кх, ку, можно найти полное число электронных состояний единицы объема с энергией, меньшей Є,
>1 *2|-?Л
nkxky
E
r 2 ^dkxdky = J ?пл (е') de',
(2л)2 d '
Рис. 37. Распределение электронных состояний в k-пространстве тонкой пленки. Занятые электронами проводимости состояния заштрихованы дважды. ЮР. cIN Заштрихованная сфера соответ-(ZO.OJ ствует граничной энергии Ферми
где множитель 2 учитывает спиновое вырождение состояний, V = LyLzd — объем основной области пленки,
/ ч IVi / dk (г, п)
(«О = Ш Zk^n)
(26.6)
296" — плотность электронных состояний в- квантовой пленке; Ax = + kl — величина двумерного волнового вектора; суммирование по п ведется по всем подзонам, дно которых находится пиже энергии Є.
Для параболической зоны, согласно (26.3), кх(е, п) имеет простой вид
fcs (8, п) = ( V2mJ%) (є - Бігс2)і/2. (26.7)
Используя это выражение, из (26.6) для плотности состояний в квантованной пленке с параболической зоной получпм
где [Ує/єі] — есть целая часть IIeZe1, т. е. число подзон, дно которых находится ниже заданной энергии е.
Из (26.8) видно, что каждая подзона в плотность состояний дает одинаковый вклад. При фиксированной толщине пленки, плотность состояний gnji(e) от энергии не зависит, пока величина V є/є і не изменится на единицу. Поэтому общая зависимость gnл(є) носит ступенчатый характер, что показано на рис. 38. Скачок плотности состояний происходит всякий раз, когда энергия є совпадает с дном очередной подзоны, т. е. є = єп = = ElTi2. При таких значениях энергии плотность состояний в пленке совпадает со значением плотности состояний в массивном образце: ^пл(єп)= ?м(є). Это легко проверить, если в (26.8) [Ує/еі] просто заменить на Ve/єі и использовать (26.4).
Интересным является поведение плотности состояний в условиях размерного квантования для фиксированной энергии є при изменении толщины пленки. Чтобы сравнить поведение ?пл(є, d) с плотностью состояний в массивном образце gK (&), (26.8) представим в виде t
где El = Eiid) — энергия наинизшего пленочного уровня (26.4), а
— плотность состояний массивного образца (4.12).
i3„„(s)
fr
и СєГє 9м J--"
j_l
Sf ^sf QS1
Ifft1 S
Рис. *38. Зависимость плотности электронных состояний от энергии в квантованной пленке с параболической зоной при фиксированной толщине. Штриховой линией показана ?м(є) для массивного образца
297" Из (26.9) видно, что при толщинах dn, когда (є/є!)І/г равняется целому числу, т. е. когда дно какой-либо подзоны совпадает с заданной энергией є ?пл(є, dn) = gM(e). При других толщинах с ростом d плотность состояний gan(d) уменьшается как 1 Id до тех пор, пока не изменится на единицу число подзон, расположенных ниже уровня є. Эта зависимость gn^(d) приведена на рис. 39.
Характерным является то, что в пленке плотность состояний меньше, чем в массивном образце, и gnn(d) меняется немонотонно. Значения толщины, при которых плотность состояний меняется скачком, определяются из условия (е/еі)і/2 = п — целое число. Из этого условия находим значения этих толщин
dn = (я2/ї2/2теє)і/2 п = dxn, (26.11)
где п = 1, 2, 3, ..., =
= Jift/ Y^rnz —¦ толщина, при которой дно наинизшей зоны совпадает с заданной энергией є, т. е. определяется из условия E1 = е. Отметим, что при толщинах d < c?t состояний нет (см. рис. 39), так как эта область толщин соответствует Єї > є, т. е. є попадает в запрещенную область. Из рис. 39 видно, что gan(d) является периодической функцией толщины. Осцилляции термодинамических и кппетических характеристик пленки в условиях размерного квантования в зависимости от толщины связаны именно с этим поведением плотности состояний. Период осцилляции gax(d) легко определить
